Soit $N$ une extension cyclique $\ell$-primaire d’un corps de nombres $K$. On suppose que $N$ est métabélienne sur un sous-corps $H$ d’indice $n$ dans $K$, pour un $n$ étranger à $\ell$ ; on note $G$ son groupe de Galois de $T$ un relèvement dans $G$ du quotient Gal$(K/H)$. On étudie la structure galoisienne des groupes de $\ell$-classes de $N$ et on s’intéresse en particulier à leurs $\psi$-composantes, lorsque $\psi$ parcourt le groupe des caractères $\ell$-adiques irréductibles de $T$. Le choix d’un générateur convenable $\theta$ dans l’idéal d’augmentation...

Suite aux travaux de R. Schoof et de H.W. Lenstra–R. Schoof, nous donnons une méthode permettant de trouver, pour tout $p$ premier ne divisant pas $[F:\mathbb{Q}]$, un système de générateurs du $p$-groupe des classes relatives du corps abélien imaginaire $F$, ceci avec la seule connaissance de nombres de Bernoulli $B_1({\psi }^{-1})$. Des exemples numériques sont donnés pour $p=3$ et $p=5$, dans le cadre des extensions cycliques de degré 2 et 4. Le premier exemple de $p$-groupe des classes possédant une $\chi$-composante non monogène (pour...

Nous introduisons les notions de nombres et d’idéaux infinitésimaux attachés à un corps de nombres algébriques $K$ relativement à un nombre premier donné $\ell$, et nous interprétons le groupe de Galois $𝒜\left(K\right)$ de la $\ell$-extension abélienne $\ell$-ramifiée maximale de $K$ comme quotient du tensorisé ${\mathbf{Z}}_{\ell }{\otimes }_{\mathbf{Z}}J\left(K\right)$ du groupe des idéaux étrangers à $\ell$ par le sous-module engendré par les idéaux principaux-infinitésimaux. Nous en déduisons diverses conséquences sur l’arithmétique des groupes $𝒜\left(K\right)$, en montrant en particulier qu’ils...

Soit $\mathbf{H}\left(K\right)$ le $\ell$-groupe des classes d’idéaux d’une extension $K/k$ cyclique de degré premier $\ell$ et soit ${\mathbf{H}}_i=\mathrm{Ker}(\sigma -1{)}^i$ ($\sigma$ générateur de $\mathrm{Gal}(K/k)$). Un procédé généralisant la formule de Chevalley (formule des classes “ambiges”) permet de déterminer ${\mathbf{H}}_{i+1}$ et l’ordre de ${\mathbf{H}}_{i+1}/{\mathbf{H}}_i$ à partir de ${\mathbf{H}}_i$. On obtient donc une méthode qui permet, d’une part, une détermination effective de la structure de $\mathbf{H}\left(K\right)$ et, d’autre part, une étude générale des problèmes de $\ell$-classes d’idéaux.

Let $K$ be a biquadratic field, $K_2^{\left(1\right)}$ be the Hilbert $2$-class field of $K$ and $K_2^{\left(2\right)}$ be the Hilbert $2$-class field of $K_2^{\left(1\right)}$. Our goal is to prove that there exists a biquadratic field $K$ such that $Gal(K_2^{\left(1\right)}/K)\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ and the group $Gal(K_2^{\left(2\right)}/K)$ is semi-dihedral. Résumé. Soient $K$ un corps biquadratique, $K_2^{\left(1\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $K$ et $K_2^{\left(2\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $K_2^{\left(1\right)}$. Notre but est de prouver qu’il existe des corps biquadratiques réels $K$ tels que le groupe $Gal(K_2^{\left(1\right)}/K)$ est de type $(2,2)$ et le groupe $Gal(K_2^{\left(2\right)}/K)$ est semi-diédral.