Sur les coefficients des développements en série de $tang x$, $séc x$ et d’autres fonctions. Caractères de périodicité que présentent les chiffres des unités de ces coefficients

E. Estanave

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Ordre, convergence et sommabilité de produits de séries de Dirichlet

Jean-Pierre Kahane, Hervé Queffélec (1997)

Annales de l'institut Fourier

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L’article donne des réponses optimales ou presque optimales aux questions suivantes, qui remontent à Stieltjes, Landau et Bohr, et concernent des séries de Dirichlet $A_{j} = \sum_{n = 1}^{\infty} a (j, n) n^{- s}$ $(j = 1, 2, \dots, k)$ et leur produit $C = \sum_{n = 1}^{\infty} c (n) n^{- s} .$ 1. Supposant que les $A_{j}$ sont convergentes aux points $ρ_{j}$ et absolument convergentes aux points $ρ_{j} + τ_{j},$ en quels points $s$ s’ensuit-il que $C$ est convergente ? 2. Supposant que les $A_{j}$ sont...

Sur un théorème général de probabilité

Alfred Rényi (1949)

Annales de l'institut Fourier

Similarity:

L’auteur généralise un théorème qu’il a déjà donné (J. de Math. 28 (949)). Envisageant un champ de probabilités au sens de Kolmogoroff, il élargit puis étudie la notion de discrépance, en introduisant la discrépance $D_{y} (x)$ d’une variable aléatoire $x$ par rapport à une autre variable aléatoire $y$ ; elle se réduit au coefficient de corrélation si $x$ et $y$ sont des variables caractéristiques. Il introduit aussi la notion de suite de variables aléatoires “presque indépendantes deux à deux”, avec...

Développement en produit des fonctions $𝛩$ et $H$ de Jacobi et recherche des valeurs de ces fonctions quand les périodes sont divisées par un nombre entier

de Presle (1887)

Bulletin de la Société Mathématique de France

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Sur les moyennes arithmétiques des suites de fonctions orthogonales

I. S. Gal (1949)

Annales de l'institut Fourier

Similarity:

Soit ${φ_{ν} (x)}$ une suite orthonormale dans l’intervalle $(- \infty < a \leq x \leq b < \infty)$ . L’auteur démontre, que $\sum_{ν = 1}^{N} (1 - \frac{ν - 1}{N}) φ_{ν} (x) = 0 (N^{\frac{1}{2}} (log N)^{\frac{1}{2} + ϵ})$ pour tout $ϵ > 0$ et presque partout dans $a \leq x \leq b$ . La démonstration est basée sur un théorème de MM. Gál et Koksma et on peut généraliser aussi pour le cas $- \infty \leq x \leq \infty$ (théorème auxiliaire). En utilisant ce théorème auxiliaire on obtient tout de suite l’estimation connue pour les fonctions de Lebesgue (théorème 2) [voir Kaczmarcz et Steinhaus, Theorie der Orthogonalreihen, Warszawa, 1935, 577].

Fonction $ζ$ de Carlitz et automates

Valérie Berthé (1993)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Carlitz a défini sur $𝔽_{q}$ une fonction $ζ$ et une série formelle $I I$ , analogues respectivement à la fonction $ζ$ de Riemann et au réel $π$ . Yu a montré, en utilisant les modules de Drinfeld, que $ζ (s) / I I^{3}$ est transcendant pour tout $s$ non divisible par $q - 1$ . Nous donnons ici une preuve «automatique» de la transcendance de $ζ (s) / I I^{3}$ pour $1 \leq s \leq q - 2$ , en utilisant le théorème de Christol, Kamae, Mendès France et Rauzy.

Sur l’intégrale $\int_{0} 1 \frac{1 - ρ^{α}}{1 - ρ} = \sum_{r} (\frac{1}{s} - \frac{1}{s + α})$ où $α l t; 1$ .

Lebesgue, V.-A. (1856)

Journal de Mathématiques Pures et Appliquées

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Ordre, convergence et sommabilité de produits de séries de Dirichlet

Sur un théorème général de probabilité

Développement en produit des fonctions 𝛩 et H de Jacobi et recherche des valeurs de ces fonctions quand les périodes sont divisées par un nombre entier

Sur les moyennes arithmétiques des suites de fonctions orthogonales

Fonction ζ de Carlitz et automates

Sur l’intégrale ∫ 0 1 1 - ρ α 1 - ρ = ∑ r 1 s - 1 s + α où α l t ; 1 .

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Développement en produit des fonctions $𝛩$ et $H$ de Jacobi et recherche des valeurs de ces fonctions quand les périodes sont divisées par un nombre entier

Fonction $ζ$ de Carlitz et automates

Sur l’intégrale $\int_{0} 1 \frac{1 - ρ^{α}}{1 - ρ} = \sum_{r} (\frac{1}{s} - \frac{1}{s + α})$ où $α l t; 1$ .