Soit $E$ un enlacement de $n$ intervalles dans $D^2\times I$ d’extérieur $X$ et soit $X_0=X\cap D^2\times 0$. On utilise la propriété de la paire $(X,X_0)$ d’être $\Lambda$-acyclique pour certaines représentation $\rho$ de l’anneau du groupe fondamental $\pi$ de $X$ dans un anneau $\Lambda$ pour construire des invariants de torsion à valeurs dans le groupe $K_1\left(\Lambda \right)/\rho (\pm \pi )$. Un cas particulier est le polynôme d’Alexander en $n$ variables quand $\Lambda$ est l’anneau des fractions rationnelles $P/Q$ avec $Q(1,1,\cdots ,1)=1$ et $\rho$ est simplement l’abélianisation.

Let $E$ be a semistable elliptic curve over $\mathbb{Q}$. We prove weak forms of Kato’s $K_1$-congruences for the special values $L\left(1,E/\mathbb{Q}({\mu }_{p^n},\sqrt[p^n]{\Delta })\right).$ More precisely, we show that they are true modulo $p^{n+1}$, rather than modulo $p^{2n}$. Whilst not quite enough to establish that there is a non-abelian $L$-function living in $K_1\left({\mathbb{Z}}_p\left[\left[\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}({\mu }_{{\mathrm{p}}^{\infty }},\sqrt[{\mathrm{p}}^{\infty }]{\Delta })/\mathbb{Q})\right]\right]\right)$, they do provide strong evidence towards the existence of such an analytic object. For example, if $n=1$ these verify the numerical congruences found by Tim and Vladimir Dokchitser.