Le théorème classique de Riesz-Raikov assure que, pour tout entier $\theta \>1$ et toute $f$ de $L^1\left(𝕋\right)$, où $𝕋=ℝ/\mathbb{Z}$, les moyennes$$\frac{1}{N}\sum _1^{N}f\left({\theta }^{n}x\right)\text{convergent}\text{vers}{\int }_{𝕋}f\left(t\right)\mathrm{d}t$$pour presque tout point $x$ de $ℝ$. J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) a prouvé que la convergence précédente a lieu pour tout réel algébrique $\theta \>1$ et toute $f$ de $L^2\left(𝕋\right)$. Dans cet article nous prouvons que, si $\varphi$ est un endomorphisme de ${ℝ}^p$ algébrique sur $\mathbb{Q}$, dont les valeurs propres sont toutes de module $\>1$, alors pour toute $f$ de $L^2\left({𝕋}^p\right)$, les moyennes $(1/N){\sum }_1^{N}f\left({\varphi }^{n}x\right)$ convergent vers ${\int }_{{𝕋}^p}f\left(t\right)\mathrm{d}t$ pour presque tout point $x$ de ${ℝ}^p$. Nous...

We consider the ensemble of curves {γα, N: α∈(0, 1], N∈ℕ} obtained by linearly interpolating the values of the normalized theta sum N−1/2∑n=0N'−1exp(πin2α), 0≤N'<N. We prove the existence of limiting finite-dimensional distributions for such curves as N→∞, when α is distributed according to any probability measure λ, absolutely continuous w.r.t. the Lebesgue measure on [0, 1]. Our Main Theorem generalizes a result by Marklof [Duke Math. J.97 (1999) 127–153] and Jurkat and van Horne [Duke...