Nous donnons une version $q$-analogue de l’asymptotique Gevrey et de la sommabilité de Borel, dues respectivement à G. Watson et E. Borel et systématiquement développées depuis une quinzaine d’années par J.-P. Ramis, Y. Sibuya, etc. Le but de ces auteurs était l’étude des équations différentielles dans le champ complexe. De même notre but est l’étude des équations aux $q$-différences dans le champ complexe, dans la ligne de G.D. Birkhoff et W.J. Trjitzinsky.Plus précisément, nous introduisons une nouvelle...