We consider higher order quasimonotone nonlinear systems of divergence type with growth of order $p$, $p\ge 2$, and Dini continuous coefficients. Using the technique of harmonic approximation we give a direct partial regularity proof for weak solutions.

Cet article considère des équations aux dérivées partielles non linéaires de la forme $F(x,X^{\alpha }u)=0$, $\left|\alpha \right|\le m$, où les $X_1,...,X_p$ sont des champs de vecteur vérifiant la condition de Hörmander. Soit $u$ une solution réelle de classe $C^{2m+1}$; on suppose que la localisation de l’opérateur linéarisé sur le groupe de Lie associé au système $\left\{X_j\right\}$ est hypoelliptique; nous démontrons sous ces hypothèses que $u$ est de classe $C^{\infty }$.

1. Introduction. The study of singularities has been one of the main subjects of research in partial differential equations. In the case of linear equations the singularities are now pretty well understood; but in the nonlinear case there seems to be still very few studies. In this paper I want to discuss the singularities of solutions of a class of nonlinear singular partial differential equations in the complex domain. The class is only a model, but it helps one understand that the situation in...

Étant donné $L$ un opérateur différentiel d’ordre $m$ sur un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^N$, $K$ un compact de $\Omega$, $\gamma \>1$ et ${\gamma }^{\text{'}}=\gamma /(\gamma -1)$, nous montrons que toute solution de “$Lu+u^{\gamma }=0$ sur $\Omega \setminus K,u\ge 0$” est solution de “$Lu+u^{\gamma }=0$ sur $\Omega$” dès que la $W^{m,{\gamma }^{\text{'}}}$-capacité de $K$ est nulle. Cette condition s’avère nécessaire quand $L$ est un opérateur elliptique d’ordre 2. Dans ce cas, nous montrons aussi que $``Lu+u|u{|}^{\gamma -1}=\mu ,u{|}_{\partial \Omega }=0^{\text{'}\text{'}}$ où $\mu$ est une mesure de Radon bornée sur $\Omega$, a une solution si et seulement si $\mu$ ne charge pas les ensembles de $W^{2,{\gamma }^{\text{'}}}$-capacité nulle.

We consider three types of semilinear second order PDEs on a cylindrical domain $\Omega \times (0,\infty )$, where $\Omega$ is a bounded domain in ${ℝ}^N$, $N\ge 2$. Among these, two are evolution problems of parabolic and hyperbolic types, in which the unbounded direction of $\Omega \times (0,\infty )$ is reserved for time $t$, the third type is an elliptic equation with a singled out unbounded variable $t$. We discuss the asymptotic behavior, as $t\to \infty$, of solutions which are defined and bounded on $\Omega \times (0,\infty )$.