Cet article contient une démonstration géométrique simple de ${\pi }_2(B{\Gamma }_1^r)=0$ pour $r=0,\infty$.Ce résultat (démontré aussi par Mather comme corollaire d’un théorème beaucoup plus général) apparaît comme une conséquence du théorème de Michael Herman : $\frac{\mathrm{Diff}{S}^1}{[\mathrm{Diff}{S}^1,\mathrm{Diff}{S}^1]}=0$.L’appendice contient une étude des $\Gamma$ structures sur les surfaces et un résultat sur la cohomologie de $\mathrm{Diff}{S}^1$.

The existence of global solutions and the phenomenon of blow-up of a solution in finite time for a recently derived shallow water equation are studied. We prove that the only way a classical solution could blow-up is as a breaking wave for which we determine the exact blow-up rate and, in some cases, the blow-up set. Using the correspondence between the shallow water equation and the geodesic flow on the manifold of diffeomorphisms of the line endowed with a weak Riemannian structure, we give sufficient...