Ensembles de Rosenthal et propriété de Radon-Nikodym relative

Mohammad Daher

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques (2009)

  • Volume: 18, Issue: 3, page 599-610
  • ISSN: 0240-2963

Abstract

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Let G be a metrizable compact abelian group, Γ its dual group and let Λ ⊂ Γ be a Rosenthal set. We show that L Λ ∞ ( G , Y * ) = C Λ ( G , Y * ) whenever Y * is a Banach space with Radon-Nikodym property and C Λ ( G , Y * ) is weakly sequentially complete. We deduce a condition implying that the product of two Rosenthal sets is still a Rosenthal set in product group. Then we introduce the relative Radon-Nikodym property R N - Λ , which generalizes the analytic Radon-Nikodym property. We prove that R N - Λ property for L 1 ( G ) / L Λ c 1 ( G ) implies that Λ is finite. This gives a new and easy proof that L 1 ( 𝕋 ) / H 1 ( 𝕋 ) does not possess the analytic Radon-Nikodym property.

How to cite

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Daher, Mohammad. "Ensembles de Rosenthal et propriété de Radon-Nikodym relative." Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques 18.3 (2009): 599-610. <http://eudml.org/doc/10119>.

@article{Daher2009,
abstract = {Soient $G$ un groupe abélien compact métrisable, $\Gamma $ son groupe dual et $\Lambda \subset \Gamma $ un ensemble de Rosenthal. Nous montrons que $L_\{\Lambda \}^\{\infty \}(G,Y^\{\ast \})=C_\{\Lambda \}(G,Y^\{\ast \}),$ lorsque $Y^\{\ast \}$ est un espace de Banach ayant la propriété de Radon-Nikodym et $C_\{\Lambda \}(G,Y^\{\ast \})$ est faiblement séquentiellement complet. Nous en déduisons une condition suffisante pour que le produit de deux ensembles de Rosenthal en soit encore un pour le groupe produit. Ensuite nous introduisons la propriété de Radon-Nikodym relative $RN$-$\Lambda $, une généralisation de la propriété de Radon-Nikodym analytique. Nous montrons que si $L^\{1\}(G)/L_\{\Lambda ^\{c\}\}^\{1\}(G)$ a la propriété $RN$-$\Lambda $, alors $\Lambda $ est fini. Cela nous permet de retrouver très simplement le fait que $L^\{1\}(\{\mathbb\{T\}\})/H^\{1\}(\{\mathbb\{T\}\})$ n’a pas la propriété de Radon-Nikodym analytique},
author = {Daher, Mohammad},
journal = {Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques},
keywords = {analytic Radon-Nikodým property; compact abelian group; continuity of translations; Radon-Nikodým property; Rosenthal set; weakly sequentially complete},
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title = {Ensembles de Rosenthal et propriété de Radon-Nikodym relative},
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TY - JOUR
AU - Daher, Mohammad
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JO - Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques
DA - 2009/7//
PB - Université Paul Sabatier, Toulouse
VL - 18
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AB - Soient $G$ un groupe abélien compact métrisable, $\Gamma $ son groupe dual et $\Lambda \subset \Gamma $ un ensemble de Rosenthal. Nous montrons que $L_{\Lambda }^{\infty }(G,Y^{\ast })=C_{\Lambda }(G,Y^{\ast }),$ lorsque $Y^{\ast }$ est un espace de Banach ayant la propriété de Radon-Nikodym et $C_{\Lambda }(G,Y^{\ast })$ est faiblement séquentiellement complet. Nous en déduisons une condition suffisante pour que le produit de deux ensembles de Rosenthal en soit encore un pour le groupe produit. Ensuite nous introduisons la propriété de Radon-Nikodym relative $RN$-$\Lambda $, une généralisation de la propriété de Radon-Nikodym analytique. Nous montrons que si $L^{1}(G)/L_{\Lambda ^{c}}^{1}(G)$ a la propriété $RN$-$\Lambda $, alors $\Lambda $ est fini. Cela nous permet de retrouver très simplement le fait que $L^{1}({\mathbb{T}})/H^{1}({\mathbb{T}})$ n’a pas la propriété de Radon-Nikodym analytique
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References

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  1. Benyamini (Y.), Lindenstrauss (J.).— Geometric nonlinear functional analysis, Vol. 1, American Mathematical Society Colloquium Publications 48, American Mathematical Society, Providence, RI (2000). Zbl0946.46002MR1727673
  2. Bukhvalov (A. V.), Danilevich (A. A.).— Boundary properties of analytic and harmonic functions with values in Banach spaces, Mat. Zametki 31, p. 203–214 (1982), no. 2  ; English translation Math. Notes 31, p. 104–110 (1982). Zbl0496.30029MR649004
  3. Daher (M.).— Translations mesurables et ensembles de Rosenthal, Annales de la Fac. de Toulouse, vol. XIV, n ∘  I, p. 105–121 (2005). Zbl1071.43003MR2118035
  4. Diestel (J.), Uhl Jr (J. J.).— Vector measures, Math. Surveys N ∘  15 (1977). Zbl0369.46039MR453964
  5. Dowling (P. N.).— Radon-Nikodym properties associated with subsets of countable discrete abelian groups, Trans. Amer. Math. Soc. 327, no. 2, p. 879-890 (1991). Zbl0771.46013MR1053113
  6. Dressler (R. E.), Pigno (L.).— Rosenthal sets and Riesz sets, Duke Math. J. 41, p. 675–677 (1974). Zbl0306.43006MR511044
  7. Dressler (R. E.), Pigno (L.).— Une remarque sur les ensembles de Rosenthal et Riesz, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 280, p. A1281–A1282 (1975). Zbl0299.43001MR374824
  8. Edgar (G. A.).— Banach spaces with the analytic Radon-Nikodym property and compact abelian groups, Almost evrywhere convergence (Columbus, OH, 1988), Academic Press, Boston, MA, p. 195–213 (1989). Zbl0692.46011MR1035247
  9. Godefroy (G.).— On coanalytic families of sets in harmonic analysis, Illinois J. Math. 35, no. 2, p. 241–249 (1991). Zbl0703.43005MR1091441
  10. Hewitt (E.), Ross (K. A.).— Abstract harmonic analysis II, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York (1970). Zbl0213.40103MR262773
  11. Lefèvre (P.), Li (D.), Queffélec (H.), Rodríguez-Piazza (L.).— Some translation-invariant Banach function spaces which contain c 0 , Studia Math. 163, no. 2, p. 137–155 (2004). Zbl1048.43004MR2047376
  12. Lefèvre (P.),Rodríguez-Piazza (L.).— Anal. 233, no. 2, p. 545–560 (2006). Zbl1089.43003MR2214587
  13. Li (D.).— A class of Riesz sets, Proc. Amer. Math. Soc. 119, p. 889–892 (1993). Zbl0796.43004MR1176071
  14. Li (D.).— On Hilbert sets and C Λ ( G ) -spaces with no subspace isomorphic to c 0 , Colloq. Math. 68, no. 1, p. 67–77 (1995). Zbl0848.43006MR1311764
  15. Li (D.).— A remark about Λ ( p ) -sets and Rosenthal sets, Proc. Amer. Math. Soc. 126, no. 11, p. 3329–3333 (1998). Zbl0907.43007MR1459133
  16. Li (D.), Queffélec (H.), Rodríguez-Piazza (L.).— Some new thin sets of integers in harmonic analysis, J. Anal. Math. 86, p. 105–138 (2002). Zbl1018.43004MR1894479
  17. Lust-Piquard (F.).— Ensembles de Rosenthal et ensembles de Riesz, C. R. Acad. Sci. Paris 282, p. 833–835 (1976). Zbl0324.43007MR404999
  18. Lust-Piquard (F.).— L’espace des fonctions presque-périodiques dont le spectre est contenu dans un ensemble compact dénombrable a la propriété de Schur, Colloq. Math. 41, p. 273–284 (1979). Zbl0462.43007MR591934
  19. Lust-Piquard (F.).— Eléments ergodiques et totalement ergodiques dans L ∞ ( G ) , Studia Math. 69, p. 191–225 (1981). Zbl0476.43001MR647138
  20. Lust-Piquard (F.).— Bohr local properties of C Λ ( T ) , Colloq. Math. 58, no. 1, p. 29–38 (1989). Zbl0694.43005MR1028158
  21. Neuwirth (S.).— Two random constructions inside lacunary sets, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 49, no. 6, p. 1853–1867 (1999). Zbl0955.42009MR1738068
  22. Odell (E.), Rosenthal (H. P.).— A double-dual characterization of separable Banach spaces containig ℓ 1 , Israel J. Math. 20, p. 375–384 (1975). Zbl0312.46031MR377482
  23. Parthasarthy (T.).— Selection theorems and their applications, Lecture Notes in Math. Vol. 263, Springer-Verlag-Berlin New York (1972). Zbl0239.54011MR417368
  24. Rosenthal (H. P.).— On trigonometric series associated with weak * -closed subspaces of continuous, J. Math. Mech. 17, p. 485–490 (1967). Zbl0194.16703MR216229
  25. Robdera (M.), Saab (P.).— Complete continuity properties of Banach spaces associated with subsets of a discrete abelian group, Glasgow Math. J. 43, p. 185-198 (2001). Zbl0992.46031MR1838624
  26. Rudin (W.).— Invariant means on L ∞ , Studia Math. 44, p. 219–227 (1972). Zbl0215.47004MR304975
  27. Watbled (F.).— Rosenthal sets for Banach valued functions, Arch. Math. 66, p. 479–489 (1996). Zbl0854.43007MR1388098

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