Mahler measures and logarithmic equidistribution

Antoine Chambert-Loir[1]; Amaury Thuillier[2]

  • [1] Université de Rennes 1 Institut universitaire de France IRMAR (UMR 6625 du CNRS) Campus de Beaulieu 35042 Rennes cedex (France)
  • [2] Université de Lyon 1 Institut Camille Jordan - CNRS - UMR 5208 43 bd. du 11 novembre 1918 69622 Villeurbanne cedex (France)

Annales de l’institut Fourier (2009)

  • Volume: 59, Issue: 3, page 977-1014
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let X be a projective integral scheme over a number field  F ; let L be a ample line bundle on  X together with a semi-positive adelic metric in the sense of Zhang. The main results of this article are(1)A formula which allows to compute the local heights (relative to L ) of a Cartier divisor  D on  X as generalized “Mahler measures”, i.e., integrals of Green functions for  D against measures attached to  L ;(2)A theorem of equidistribution of points of “small” height valid for functions with logarithmic singularities along a divisor  D , provided the height of  D is “minimal”. In the context of algebraic dynamics, “small” means of height converging to  0 , and “minimal” means height  0 .

How to cite

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Chambert-Loir, Antoine, and Thuillier, Amaury. "Mesures de Mahler et équidistribution logarithmique." Annales de l’institut Fourier 59.3 (2009): 977-1014. <http://eudml.org/doc/10426>.

@article{Chambert2009,
abstract = {Soit $X$ un schéma projectif intègre défini sur un corps de nombres $F$ ; soit $L$ un fibré en droites ample sur $X$ muni d’une métrique adélique semi-positive au sens de Zhang. Les résultats principaux de cet article sont :(1)Une formule qui calcule les hauteurs locales (relativement à ) d’un diviseur de Cartier sur  comme des « mesures de Mahler » généralisées, c’est-à-dire les intégrales de fonctions de Green pour  contre des mesures associées à  ;(2)Un théorème d’équidistribution des points de « petite » hauteur valable pour des fonctions-test à singularités logarithmiques le long d’un diviseur , pourvu que la hauteur de  soit « minimale ». Dans le contexte de la dynamique algébrique, « petite » signifie de hauteur tendant vers , et « minimale » signifie de hauteur nulle.},
affiliation = {Université de Rennes 1 Institut universitaire de France IRMAR (UMR 6625 du CNRS) Campus de Beaulieu 35042 Rennes cedex (France); Université de Lyon 1 Institut Camille Jordan - CNRS - UMR 5208 43 bd. du 11 novembre 1918 69622 Villeurbanne cedex (France)},
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References

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  1. Ahmed Abbes, Thierry Bouche, Théorème de Hilbert–Samuel « arithmétique », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 45 (1995), 375-401 Zbl0818.14011MR1343555
  2. Pascal Autissier, Points entiers sur les surfaces arithmétiques, J. reine angew. Math. 531 (2001), 201-235 Zbl1007.11041MR1810122
  3. Pascal Autissier, Équidistribution des sous-variétés de petite hauteur, J. Théor. Nombres Bordeaux 18 (2006), 1-12 Zbl1228.11087MR2245872
  4. Pascal Autissier, Sur une question d’équirépartition de nombres algébriques, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 342 (2006), 639-641 Zbl1129.11046MR2225867
  5. Matthew Baker, Robert Rumely, Equidistribution of small points, rational dynamics, and potential theory, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 56 (2006), 625-688 Zbl1234.11082MR2244226
  6. Eric Bedford, B.A. Taylor, A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math. 149 (1982), 1-40 Zbl0547.32012MR674165
  7. Vladimir G. Berkovich, Spectral theory and analytic geometry over non-Archimedean fields, 33 (1990), American Mathematical Society, Providence, RI Zbl0715.14013MR1070709
  8. Spencer Bloch, Henri Gillet, Christophe Soulé, Non-archimedean Arakelov theory, J. Algebraic Geometry 4 (1995), 427-485 Zbl0866.14011MR1325788
  9. Enrico Bombieri, Jeffrey Vaaler, On Siegel’s lemma, Invent. Math. 73 (1983), 11-32 Zbl0533.10030MR707346
  10. S. Bosch, U. Güntzer, R. Remmert, Non-Archimedean analysis. A systematic approach to rigid analytic geometry, 261 (1984), Springer-Verlag, Berlin Zbl0539.14017MR746961
  11. Jean-Benoît Bost, Henri Gillet, Christophe Soulé, Heights of projective varieties and positive Green forms, J. Amer. Math. Soc. 7 (1994), 903-1027 Zbl0973.14013
  12. N. Bourbaki, Intégration, chapitres 1 à 4, (2007), Springer-Verlag 
  13. Antoine Chambert-Loir, Mesures et équidistribution sur des espaces de Berkovich, J. reine angew. Math. 595 (2006), 215-235 Zbl1112.14022MR2244803
  14. Sinnou David, Patrice Philippon, Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés des tores, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 28 (1999), 489-543 Zbl1002.11055MR1736526
  15. Jean-Pierre Demailly, Mesures de Monge-Ampère et caractérisation géométrique des variétés algébriques affines, Mém. Soc. Math. France (1985) Zbl0579.32012MR813252
  16. Jean-Pierre Demailly, Monge-Ampère operators, Lelong numbers and Intersection theory, Complex analysis and geometry (1993), 115-193, Plenum, New York Zbl0792.32006MR1211880
  17. Graham Everest, Thomas Ward, Heights of polynomials and entropy in algebraic dynamics, (1999), Springer-Verlag London Ltd., London Zbl0919.11064MR1700272
  18. Gerd Faltings, Diophantine approximation on abelian varieties, Ann. of Math. 133 (1991), 549-576 Zbl0734.14007MR1109353
  19. Charles Favre, Juan Rivera-Letelier, Equidistribution quantitative des points de petite hauteur sur la droite projective, Math. Ann. 335 (2006), 311-361 Zbl1175.11029MR2221116
  20. Takao Fujita, Approximating Zariski decomposition of big line bundles, Kodai Math. J. 17 (1994), 1-3 Zbl0814.14006MR1262949
  21. William Fulton, Intersection theory, (1998), Springer-Verlag, Berlin Zbl0885.14002MR1644323
  22. Henri Gillet, Christophe Soulé, Amplitude arithmétique, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 307 (1988), 887-890 Zbl0676.14007MR974432
  23. Henri Gillet, Christophe Soulé, Arithmetic intersection theory, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 72 (1990), 94-174 Zbl0741.14012MR1087394
  24. Walter Gubler, Local heights of subvarieties over non-archimedean fields, J. reine angew. Math. 498 (1998), 61-113 Zbl0906.14013MR1629925
  25. Wayne M. Lawton, A generalization of a theorem of Kronecker, J. Sci. Fac. Chiang Mai Univ. 4 (1977), 15-23 Zbl0447.12004
  26. Robert Lazarsfeld, Positivity in algebraic geometry, 48–49 (2004), Springer-Verlag Zbl1093.14500
  27. Vincent Maillot, Géométrie d’Arakelov des variétés toriques et fibrés en droites intégrables, Mém. Soc. Math. France (2000) Zbl0963.14009
  28. Atsushi Moriwaki, Continuity of volumes on arithmetic varieties, (2008) Zbl1167.14014
  29. Patrice Philippon, Lemmes de zéros dans les groupes algébriques commutatifs, Bull. Soc. Math. France 114 (1986), 355-383 Zbl0617.14001MR878242
  30. Patrice Philippon, Sur des hauteurs alternatives, I, Math. Ann. 289 (1991), 255-283 Zbl0726.14017MR1092175
  31. Jorge Pineiro, Lucien Szpiro, Thomas J. Tucker, Mahler measure for dynamical systems on ℙ 1 and intersection theory on a singular arithmetic surface, Geometric methods in algebra and number theory 235 (2005), 219-250, Birkhäuser Boston, Boston, MA Zbl1101.11020MR2166086
  32. Robert Rumely, On Bilu’s Equidistribution theorem, Spectral problems in geometry and arithmetic 237 (1999), 159-166, Iowa City, IA, 1997 Zbl1029.11030MR1710794
  33. Robert Rumely, Chi Fong Lau, Robert Varley, Existence of the sectional capacity, Mem. Amer. Math. Soc. 145 (2000) Zbl0987.14018MR1677934
  34. Lucien Szpiro, Tom Tucker, Equidistribution and generalized Mahler measures, (2005) Zbl1283.37075
  35. Lucien Szpiro, Emmanuel Ullmo, Shou-Wu Zhang, Équidistribution des petits points, Invent. Math. 127 (1997), 337-348 Zbl0991.11035MR1427622
  36. Amaury Thuillier, Théorie du potentiel sur les courbes en géométrie non archimédienne. Applications à la théorie d’Arakelov, (2005) 
  37. Emmanuel Ullmo, Positivité et discrétion des points algébriques des courbes, Ann. of Math. 147 (1998), 167-179 Zbl0934.14013MR1609514
  38. Xinyi Yuan, Big line bundles on arithmetic varieties, Invent. Math. 173 (2008), 603-649 Zbl1146.14016MR2425137
  39. Shou-Wu Zhang, Positive line bundles on arithmetic varieties, J. Amer. Math. Soc. 8 (1995), 187-221 Zbl0861.14018MR1254133
  40. Shou-Wu Zhang, Small points and adelic metrics, J. Algebraic Geometry 4 (1995), 281-300 Zbl0861.14019MR1311351
  41. Shou-Wu Zhang, Equidistribution of small points on abelian varieties, Ann. of Math. 147 (1998), 159-165 Zbl0991.11034MR1609518

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