Let $h:X\to Y$ be a separated morphism of adic spaces of finite type over a non-archimedean field $k$ with $Y$ affinoid and of dimension $\le 1$, let $L$ be a locally closed constructible subset of $X$ and let $g:(X,L)\to Y$ be the morphism of pseudo-adic spaces induced by $h$. Let $A$ be a noetherian torsion ring with torsion prime to the characteristic of the residue field of the valuation ring of $k$ and let $F$ be a constant $A$-module of finite type on ${(X,L)}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$. There is a natural class $𝒞\left(Y\right)$ of $A$-modules on $Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ generated by the constructible $A$-modules...

Let $p$ be a prime number, ${\mathbb{Q}}_p$ the field of $p$-adic numbers and ${ℂ}_p$ the completion of the algebraic closure of ${\mathbb{Q}}_p$. In this paper we obtain a representation theorem for rigid analytic functions on ${𝐏}^1\left({ℂ}_p\right)\setminus C(t,ϵ)$ which are equivariant with respect to the Galois group $G=Ga{l}_{cont}({ℂ}_p/{\mathbb{Q}}_p)$, where $t$ is a lipschitzian element of ${ℂ}_p$ and $C(t,ϵ)$ denotes the $ϵ$-neighborhood of the $G$-orbit of $t$.

We investigate Bruhat-Tits buildings and their compactifications by means of Berkovich analytic geometry over complete non-Archimedean fields. For every reductive group $\mathrm{G}$ over a suitable non-Archimedean field $k$ we define a map from the Bruhat-Tits building $ℬ(\mathrm{G},k)$ to the Berkovich analytic space ${\mathrm{G}}^{\mathrm{an}}$ associated with $\mathrm{G}$. Composing this map with the projection of ${\mathrm{G}}^{\mathrm{an}}$ to its flag varieties, we define a family of compactifications of $ℬ(\mathrm{G},k)$. This generalizes results by Berkovich in the case of split groups. Moreover,...

Nous construisons dans cet article les classes de Chern et les classes de cycles en cohomologie rigide. Nous démontrons par la suite que ces constructions vérifient bien les propriétés attendues. La cohomologie rigide est donc une cohomologie de Weil.

We present a panorama of comparison theorems between algebraic and analytic De Rham cohomology with algebraic connections as coefficients. These theorems have played an important role in the development of $𝒟$-module theory, in particular in the study of their ramification properties (irregularity...). In part I, we concentrate on the case of regular coefficients and sketch the new proof of these theorems given by F. Baldassarri and the author, which is of elementary nature and unifies the complex...

The tempered fundamental group of a $p$-adic analytic space classifies covers that are dominated by a topological cover (for the Berkovich topology) of a finite étale cover of the space. Here we construct cospecialization homomorphisms between $\left(p^{\prime }\right)$ versions of the tempered fundamental groups of the fibers of a smooth family of curves with semistable reduction. To do so, we will translate our problem in terms of cospecialization morphisms of fundamental groups of the log fibers of the log reduction and...

Il y a une quinzaine d’années, Berkovich a proposé une nouvelle approche de la géométrie analytique sur un corps ultramétrique complet. Elle fournit, contrairement aux précédentes, des espaces localement compacts et localement connexes par arcs. Elle s’est révélée particulièrement fructueuse pour l’étude d’une grande variété de questions ; citons par exemple les cycles évanescents ou quelques analogues $p$-adiques de théories classiques : potentiel, dessins d’enfants, intégration le long d’un chemin,...

Cet article concerne les espaces analytiques au sens de Berkovich.Soit $k$ un corps complet pour une valeur absolue ultramétrique et soit $𝔛$ un schéma formel au-dessus de la boule unité $k^0$ de $k$. Si $𝔛$ est pluristable (ce qui signifie essentiellement que les singularités de sa fibre spéciale sont « raisonnables » ) alors sa fibre générique ${𝔛}_{\eta }$ se rétracte sur l’un de ses sous-ensembles fermés noté $S\left(𝔛\right)$ (c’est lesquelettede $𝔛$) qui possède une structure naturelle d’espace linéaire par morceaux. Si $𝔜\to 𝔛$ est un morphisme...

Cet article est le premier d’une série de trois articles consacrés aux images directes d’isocristaux : ici nous considérons des isocristaux sans structure de Frobenius ; dans le deuxième [Et 6] (resp. le troisième [Et 7]), nous introduirons une structure de Frobenius dans le contexte convergent (resp. surconvergent).Pour un morphisme propre et lisse relevable nous établissons la surconvergence des images directes, grâce à un théorème de changement de base pour un morphisme propre entre espaces rigides...

Bien que les espaces de Berkovich définis sur un corps trop gros ne soient, en général, pas métrisables, nous montrons que leur topologie reste en grande partie gouvernée par les suites : tout point adhérent à une partie est limite d’une suite de points de cette partie et les parties compactes sont séquentiellement compactes. Notre preuve utilise de façon essentielle l’extension des scalaires et nous en étudions certaines propriétés. Nous montrons qu’un point d’un disque peut être défini sur un...