Horizontal gradient of polynomial functions

Si Tiep Dinh[1]; Krzysztof Kurdyka[2]; Patrice Orro[2]

  • [1] Institute of Mathematics 18 Hoang Quoc Viet Road Cau Giay District 10307 Hanoi (Vietnam)
  • [2] Université de Savoie Laboratoire de Mathématiques UMR 5175 du CNRS Campus Scientifique 73376 Le Bourget-du-Lac Cedex (France)

Annales de l’institut Fourier (2009)

  • Volume: 59, Issue: 5, page 1999-2042
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
We study trajectories of sub-Riemannian (also called horizontal) gradient of polynomials. In this setting Łojasiewicz’s gradient inequality does not hold and a trajectory of a horizontal gradient may be of infinite length, moreover it may accumulate on a closed curve. We show that these phenomena are exceptional; for a generic polynomial function the behavior of the trajectories of horizontal gradients are similar to the behavior of the trajectories of a Riemannian gradient. To obtain the finiteness of the length of trajectories we change suitably the sub-Riemannian metric. We consider a class of splitting distributions which contains those of Heisenberg and Martinet. For a generic polynomial f the set V f of horizontal critical points, is a smooth algebraic set of dimension 1 or the empty set, moreover f | V f is a Morse function. We show that for a generic polynomial function any trajectory of the horizontal gradient (which approaches V f ) has a limit, as in the Riemannian case studied by S. Łojasiewicz.

How to cite

top

Dinh, Si Tiep, Kurdyka, Krzysztof, and Orro, Patrice. "Gradient horizontal de fonctions polynomiales." Annales de l’institut Fourier 59.5 (2009): 1999-2042. <http://eudml.org/doc/10445>.

@article{Dinh2009,
abstract = {Nous étudions les trajectoires du gradient sous-riemannien (appellé horizontal) de fonctions polynômes. Dans ce cadre l’inégalité de Łojasiewicz n’est pas valide et une trajectoire du gradient horizontal peut être de longueur infinie, et peut même s’accumuler sur une courbe fermée. Nous montrons que ces comportement sont exceptionnels ; et que, pour une fonction générique les trajectoires de son gradient horizontal ont des propriétés similaires au cas du gradient riemannien. Pour obtenir la finitude des longueurs des trajectoires, nous changeons la métrique sous-riemanienne de façon convenable. Nous considérons une classe de distributions dites scindées, incluant celles d’Heisenberg et de Martinet. Pour un polynôme générique $f$ l’ensemble $V_f$ des points critiques horizontaux de $f$ est un ensemble algébrique lisse de dimension $1$ ou est vide et la restriction $f|_\{V_f\}$ est une fonction de Morse. Nous montrons aussi que pour un polynôme générique $f$, chaque trajectoire du gradient horizontal (qui approche $V_f$) possède une limite comme dans le cas riemannien étudié par S. Łojasiewicz.},
affiliation = {Institute of Mathematics 18 Hoang Quoc Viet Road Cau Giay District 10307 Hanoi (Vietnam); Université de Savoie Laboratoire de Mathématiques UMR 5175 du CNRS Campus Scientifique 73376 Le Bourget-du-Lac Cedex (France); Université de Savoie Laboratoire de Mathématiques UMR 5175 du CNRS Campus Scientifique 73376 Le Bourget-du-Lac Cedex (France)},
author = {Dinh, Si Tiep, Kurdyka, Krzysztof, Orro, Patrice},
journal = {Annales de l’institut Fourier},
keywords = {Sub-Riemannian; gradient; inegality},
language = {fre},
number = {5},
pages = {1999-2042},
publisher = {Association des Annales de l’institut Fourier},
title = {Gradient horizontal de fonctions polynomiales},
url = {http://eudml.org/doc/10445},
volume = {59},
year = {2009},
}

TY - JOUR
AU - Dinh, Si Tiep
AU - Kurdyka, Krzysztof
AU - Orro, Patrice
TI - Gradient horizontal de fonctions polynomiales
JO - Annales de l’institut Fourier
PY - 2009
PB - Association des Annales de l’institut Fourier
VL - 59
IS - 5
SP - 1999
EP - 2042
AB - Nous étudions les trajectoires du gradient sous-riemannien (appellé horizontal) de fonctions polynômes. Dans ce cadre l’inégalité de Łojasiewicz n’est pas valide et une trajectoire du gradient horizontal peut être de longueur infinie, et peut même s’accumuler sur une courbe fermée. Nous montrons que ces comportement sont exceptionnels ; et que, pour une fonction générique les trajectoires de son gradient horizontal ont des propriétés similaires au cas du gradient riemannien. Pour obtenir la finitude des longueurs des trajectoires, nous changeons la métrique sous-riemanienne de façon convenable. Nous considérons une classe de distributions dites scindées, incluant celles d’Heisenberg et de Martinet. Pour un polynôme générique $f$ l’ensemble $V_f$ des points critiques horizontaux de $f$ est un ensemble algébrique lisse de dimension $1$ ou est vide et la restriction $f|_{V_f}$ est une fonction de Morse. Nous montrons aussi que pour un polynôme générique $f$, chaque trajectoire du gradient horizontal (qui approche $V_f$) possède une limite comme dans le cas riemannien étudié par S. Łojasiewicz.
LA - fre
KW - Sub-Riemannian; gradient; inegality
UR - http://eudml.org/doc/10445
ER -

References

top
  1. P.-A. Absil, K. Kurdyka, On the stable equilibrium points of gradient systems, Systems Control Lett. 55 (2006), 573-577 Zbl1129.34320MR2225367
  2. M. Baeg, U. Helmke, J. B. Moore, Gradient flow techniques for pose estimation of quadratic surfaces, Proceedings of the World Congress in Computational Methods and Applied Mathematics (1994) 
  3. Z. M. Balogh, I. Holopainen, J. T. Tyson, Singular solutions, homogeneous norms, and quasiconformal mappings in Carnot groups, Math. Ann. 324 (2002), 159-186 Zbl1014.22009MR1931762
  4. R. Benedetti, J-J. Risler, Real algebraic and semi-algebraic sets, (1991), Hermann Zbl0694.14006MR1070358
  5. E. Bierstone, P. D. Milman, Semianalytic and subanalytic sets, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. (1988), 5-42 Zbl0674.32002MR972342
  6. J. Bochnak, M. Coste, M-F. Roy, Géométrie semi-algébrique réelle, (1987), Springer Zbl0633.14016MR949442
  7. R. Chill, The Lojasiewicz-Simon gradient inequality, J. Funct. Anal. 201 (2003), 572-601 Zbl1036.26015MR1986700
  8. W. L. Chow, Über Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, Math. Ann. 117 (1939), 98-105 Zbl65.0398.01MR1880
  9. K. Kurdyka D. D’Acunto, Bounds for gradient trajectories of polynomial and definable functions with application 
  10. D. D’Acunto, K. Kurdyka, Explicit bounds for the Lojasiewicz exponent in the gradient inequality for polynomials, Ann. Polon. Math. 87 (2005), 51-61 Zbl1093.32011MR2208535
  11. A. Gabrielov, Multiplicities of Pffafian intersections and the Lojasiewicz inequality, Selecta Math. (N.S.) 1 (1995), 113-127 Zbl0889.32005MR1327229
  12. M. Goresky, R. MacPherson, Stratified Morse theory, (1988), Springer Zbl0639.14012MR932724
  13. M. Gromov, Carnot-Caratheodory spaces seen from within. Subriemannian Geometry, 144 (1996), Birkhäuser Verlag Zbl0864.53025MR1421823
  14. V. Guillemin, A. Pollack, Differential topology, (1974), Prentice-Hall Zbl0361.57001MR348781
  15. U. Helmke, J. B. Moore, Optimization and dynamical systems, (1994), Springer Zbl0943.93001MR1299725
  16. M. Hirsch, Differential topology, (1976), Springer Zbl0356.57001MR448362
  17. S.-Z. Huang, Gradient inequalities with applications to asymptotic behavior and stability of gradient-like systems, 126 (2006), AMS Mathematical Surveys and Monographs Zbl1132.35002MR2226672
  18. D. Jiang, J. B. Moore, A gradient flow approach to decentralised output feedback optimal control, Systems Control Lett. 27 (1996), 223-231 Zbl0875.93020MR1389555
  19. K. Kurdyka, On gradients of functions definable in o-minimal structures, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 48 (1998), 769-783 Zbl0934.32009MR1644089
  20. K. Kurdyka, T. Mostowski, A. Parusiński, Proof of the Gradient Conjecture of R. Thom, Ann. of Math. 152 (2000), 163-792 Zbl1053.37008MR1815701
  21. K. Kurdyka, A. Parusiński, w f -stratification of subanalytic functions and the Łojasiewicz inequality, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 318 (1994), 129-133 Zbl0799.32007
  22. S. Łojasiewicz, Une propriété topologique des sous-ensembles analytiques réels, Colloques internationaux du CNRS. Les équations aux dérivées partielles 117 (1963), B. Malgrange (Paris 1962). Publications du CNRS, Paris Zbl0234.57007
  23. S. Łojasiewicz, Ensembles semi-analytiques, (1965), I.H.E.S. Bures-sur-Yvette Zbl0241.32005
  24. S. Łojasiewicz, Sur les trajectoires du gradient d’une fonction analytique, Seminari di Geometria (1982-1983), 115-117, Bologna Zbl0606.58045MR771152
  25. S. Łojasiewicz, Sur la géométrie semi- et sous- analytique, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 43 (1993), 1575-1595 Zbl0803.32002MR1275210
  26. Y. C. Lu, Singularity theory and an introduction to catastrophe theory, (1976), Springer Zbl0354.58008MR461562
  27. V. Magnani, A Blow-up theorem for regular hypersurfaces on nilpotent groups, Manuscripta Math. 110 (2003), 55-76 Zbl1010.22010MR1951800
  28. J. H. Manton, U. Helmke, I. M. Y. Mareels, A dual purpose principal and minor component flow, Systems Control Lett. 54 (2005), 759-769 Zbl1129.34319MR2147235
  29. P. K. Rashevsky, Any two points of a totally nonholonomic space may be connected by an admissible line, Uch. Zap. Ped. Inst. im. Liebknechta. Ser. Phys. Math. 2 (1938), 83-94 
  30. D. Ridout, K. Judd, Convergence properties of gradient descent noise reduction, Physica. D 165 (2002), 26-47 Zbl1008.37049MR1910616
  31. L. Simon, Asymptotics for a class of nonlinear evolution equations, with applications to geometric problems, Ann. of Math. (2) 118 (1983), 525-571 Zbl0549.35071MR727703
  32. R. S. Strichartz, Sub-riemannian geometry, J. Diff. Geom. 24 (1986), 221-263 Zbl0609.53021MR862049
  33. H. J. Sussmann, Orbits of families of vector fields and integrability of distributions, Trans. Amer. Math. Soc. 180 (1973), 171-188 Zbl0274.58002MR321133
  34. R. Thom, Problèmes rencontrés dans mon parcours mathématiques : un bilan, Publ. Math. IHES 70 (1989), 200-214 Zbl0709.58001MR1067383
  35. N. T. Trendafilov, R. A. Lippert, The multimode Procrustes problem, Linear Algebra Appl. 349 (2002), 245-264 Zbl0999.65051MR1903736
  36. W. Y. Yan, K. L. Teo, J. B. Moore, A gradient flow approach to computing LQ optimal output feedback gains, Optimal Control Appl. Methods 15 (1994), 67-75 Zbl0815.49025MR1263418
  37. S. Yoshizawa, U. Helmke, K. Starkow, Convergence analysis for principal component flows, Mathematical theory of networks and systems (Perpignan, 2000). Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. 11 (2001), 223-236 Zbl1169.93344MR1835155

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.