Solutions globales d’énergie infinie pour l’équation des ondes critique

Pierre Germain

Séminaire Équations aux dérivées partielles (2006-2007)

  • page 1-31

Abstract

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Nous considérons dans cet article l’équation des ondes semilinéaire critique ( N L W ) 2 * - 1 □ u + | u | 2 * - 2 u = 0 u | t = 0 = u 0 ∂ t u | t = 0 = u 1 , posée dans tout l’espace ℝ d , avec 2 * = 2 d d - 2 · Shatah et Struwe [31] ont prouvé que si les données initiales sont d’énergie finie, c’est à dire si ( u 0 , u 1 ) ∈ H ˙ 1 × L 2 , alors il existe une solution globale. Planchon [22] a montré que c’est aussi le cas pour certaines données initiales d’énergie infinie : il suffit que les données initiales soient de norme petite dans B ˙ 2 , ∞ 1 × B ˙ 2 , ∞ 0 . Nous construisons ici des solutions globales de ( N L W ) 2 * - 1 pour des données initiales d’énergie infinie arbitrairement grandes, en utilisant deux méthodes qui reviennent à interpoler entre solutions d’énergie finie et solutions d’énergie infinie : la méthode de Bourgain et la méthode de Calderón. Ces deux méthodes donnent des résultats complémentaires.

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Germain, Pierre. "Solutions globales d’énergie infinie pour l’équation des ondes critique." Séminaire Équations aux dérivées partielles (2006-2007): 1-31. <http://eudml.org/doc/11146>.

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abstract = {Nous considérons dans cet article l’équation des ondes semilinéaire critique\begin\{equation*\} (NLW)\_\{2^*-1\} \;\;\; \left\lbrace \begin\{array\}\{l\} \square u + |u|^\{2^*-2\} u= 0 \\ u\_\{|t=0\} = u\_0 \\ \partial \_t u\_\{|t=0\} = u\_1 \,\,, \end\{array\} \right. \end\{equation*\}posée dans tout l’espace $\mathbb\{R\}^d$, avec $2^* = \frac\{2d\}\{d-2\}\,\cdotp$ Shatah et Struwe [31] ont prouvé que si les données initiales sont d’énergie finie, c’est à dire si $(u_0,u_1) \in \dot\{H\}^1 \times L^2$, alors il existe une solution globale. Planchon [22] a montré que c’est aussi le cas pour certaines données initiales d’énergie infinie : il suffit que les données initiales soient de norme petite dans $\dot\{B\}^1_\{2,\infty \} \times \dot\{B\}^0_\{2,\infty \}$. Nous construisons ici des solutions globales de $(NLW)_\{2^*-1\}$ pour des données initiales d’énergie infinie arbitrairement grandes, en utilisant deux méthodes qui reviennent à interpoler entre solutions d’énergie finie et solutions d’énergie infinie : la méthode de Bourgain et la méthode de Calderón. Ces deux méthodes donnent des résultats complémentaires.},
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