Résurgence-sommabilité de séries formelles ramifiées dépendant d’un paramètre et solutions d’équations différentielles linéaires

Jean-Marc Rasoamanana[1]

  • [1] Département de Mathématiques, UMR CNRS 6093, Université d’Angers, 2 Boulevard Lavoisier, 49045 Angers Cedex 01, France.

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques (2010)

  • Volume: 19, Issue: 2, page 303-343
  • ISSN: 0240-2963

Abstract

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In this article, we investigate the Borel-resummable and resurgent properties of formal power series, solutions of a class of linear differential equations. In particular, we study the analytic dependence of the associated Borel sum in the parameters of the equations. We also analyse the whole resurgent structure associated with these formal power series thanks to the tool of microfunctions and the so-called alien derivatives. These analysis allow us to extend some results due to Y. Sibuya in [31], and to illustrate the powerful alien calculus of J. Ecalle.

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Rasoamanana, Jean-Marc. "Résurgence-sommabilité de séries formelles ramifiées dépendant d’un paramètre et solutions d’équations différentielles linéaires." Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques 19.2 (2010): 303-343. <http://eudml.org/doc/115879>.

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abstract = {Dans cet article, nous établissons le caractère résurgent-sommable de séries formelles ramifiées solutions d’une classe d’équations différentielles linéaires. Nous analysons d’une part le problème de la dépendance analytique des sommes de Borel de telles séries par rapport aux paramètres de cette classe d’équations différentielles linéaires d’ordre deux, et d’autre part, nous analysons la structure résurgente complète associée à ces séries formelles via l’outil des singularités générales (ou microfonctions). Ceci permet d’étendre des résultats dûs à Y. Sibuya dans [31], et également de fournir une illustration du puissant outil qu’est le calcul étranger de J. Ecalle.},
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References

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  1. I. Bakken, On the central connection problem for a class of ordinary differential equations. Funkcial. Ekvac. 20 (1977), no. 2, 115–156. Zbl0386.34009MR499531
  2. C.M. Bender, S. Boettcher, P.N. Meisinger, P T -symmetric quantum mechanics, J. Math. Phys. 40 (1999), 2201. Zbl1057.81512MR1686605
  3. C.M. Bender, M. Berry, A. Mandilara, Generalized P T symmetry and real spectra. J. Phys. A 35 (2002), no. 31, 467–471. Zbl1066.81537MR1928842
  4. B. Candelpergher, C. Nosmas, F. Pham, Premiers pas en calcul étranger, Annales de l’Institut Fourier 43 (1993), no. 1, 201-224. Zbl0785.30017MR1209701
  5. B. Candelpergher, C. Nosmas, F. Pham, Approche de la résurgence, Actualités mathématiques, Hermann, Paris (1993). Zbl0791.32001MR1250603
  6. O. Costin, On Borel summation and Stokes phenomena for rank- 1 nonlinear systems of ordinary differential equations, Duke Math. J. 93 (1998), no. 2, 289–344. Zbl0948.34068MR1625999
  7. O. Costin, R.D. Costin On the formation of singularities of solutions of nonlinear differential systems in antistokes directions, Invent. Math. 145 (2001), no. 3, 425–485. Zbl1034.34102MR1856397
  8. E. Delabaere, F. Pham, Unfolding the quartic oscillator, Ann. Physics 261 (1997), no. 2, 180–218. Zbl0977.34052MR1487700
  9. E. Delabaere, F. Pham, Eigenvalues of complex Hamiltonians with P T -symmetry, Phys. Lett. A 250 (1998), no. 1-3, 25-32. MR1742959
  10. E. Delabaere, J.M. Rasoamanana, Resurgent deformation of an ordinary differential equation of order 2, Pacific Journal of Mathematics, 223 (2006), no 1, 35–93. Zbl1116.34068MR2221018
  11. E. Delabaere, J.M. Rasoamanana, Sommation effective d’une somme de Borel par séries de factorielles, Annales de l’Institut Fourier, 57 (2007), no 2, 421–456. Zbl1129.30023MR2310946
  12. E. Delabaere, D.T. Trinh, Spectral analysis of the complex cubic oscillator, J.Phys. A : Math. Gen. 33 (2000), no. 48, 8771-8796. Zbl1044.81555MR1801468
  13. P. Dorey, C. Dunning, R. Tateo, Spectral equivalences, Bethe ansatz equations, and reality properties in P T -symmetric quantum mechanics, J. Phys. A 34 (2001), no. 28, 5679–5704. Zbl0982.81021MR1857169
  14. J. Écalle, Les algèbres de fonctions résurgentes, Publ. Math. D’Orsay, Université Paris-Sud, 1981.05 (1981). Zbl0499.30034
  15. J. Écalle, Les fonctions résurgentes appliquées à l’itération, Publ. Math. D’Orsay, Université Paris-Sud, 1981.06 (1981). Zbl0499.30035
  16. J. Écalle, L’équation du pont et la classification analytique des objets locaux, Publ. Math. D’Orsay, Université Paris-Sud, 1985.05 (1985). Zbl0602.30029
  17. J. Écalle, Cinq applications des fonctions résurgentes, preprint 84T 62, Orsay, (1984). 
  18. M.V Fedoryuk, Asymptotic methods for linear ordinary differential equations, Moscow : Nauta, (1983). Zbl0538.34001MR732787
  19. V. Gelfreich, D. Sauzin, Borel summation and splitting of separatrices for the Hénon map, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 51 (2001), no 2, 513-567. Zbl0988.37031MR1824963
  20. M. Loday-Richaud, Solutions formelles des systèmes différentiels linéaires méromorphes et sommation, Expositiones Mathematicae 13 (1995), no 2-3, 116-162. Zbl0831.34002MR1346200
  21. M. Loday-Richaud, Rank reduction, normal forms and Stokes matrices, Expo. Math. 19 (2001), no. 3, 229–250. Zbl0990.34076MR1852074
  22. B. Malgrange, Sommation des séries divergentes, Expo. Math. 13 (1995), 163-222. Zbl0836.40004MR1346201
  23. F.E. Mullin, On the regular perturbation of the subdominant solution to second order linear ordinary differential equations with polynomial coefficients., Funkcial. Ekvac. 11 (1968), 1–38. Zbl0266.34052MR241773
  24. C. Olivé, D. Sauzin, T. Seara, Resurgence in a Hamilton-Jacobi equation, Ann. Inst. fourier, Grenoble 53, 4 (2003), 1185–1235. Zbl1077.34086MR2033513
  25. J.P. Ramis, Les séries k-sommables et leurs applications, Analysis, Microlocal Calculus and Relativistic Quantum Theory, Proceeding Les Houches (1979), Springer Notes in Physics 126, 178–199 (1980). MR579749
  26. J.P. Ramis, Phénomène de Stokes et resommation, C.R.Acad.Sc. Paris, t.301, 99-102 (1985). Zbl0582.34006MR799602
  27. J.P. Ramis, Théorèmes d’indices Gevrey pour les équations différentielles ordinaires, Memoirs of the American Mathematical Society 296, 1–95 (1984). Zbl0555.47020MR733946
  28. J.-P. Ramis, Séries divergentes et théories asymptotiques, Suppl. au bulletin de la SMF, Panoramas et Synthèses 121 (1993), Paris :Société Mathématique de France. Zbl0830.34045MR1272100
  29. J.-P. Ramis, R. Schäfke, Gevrey separation of fast and slow variables, Nonlinearity 9 (1996), no 2, 353–384. Zbl0925.70161MR1384480
  30. D. Sauzin, Resurgent functions and splitting problems, à paraître dans RIMS koukyuroku (Kyoto). Zbl1326.30036
  31. Y. Sibuya, Global Theory of a Second Order Linear Differential Equation with a Polynomial Coefficient, Mathematics Studies 18 (1975), North-Holland Publishing Company. Zbl0322.34006MR486867
  32. K.C. Shin, On the reality of the eigenvalues for a class of P T -symmetric oscillators, Comm. Math. Phys. 229 (2002), no. 3, 543–564. Zbl1017.34083MR1924367

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