Collapsing, spectrum, and diophantine properties of riemannian flows

Pierre Jammes[1]

  • [1] Université d’Avignon et des pays de Vaucluse Laboratoire d’analyse non linéaire et géométrie (EA 2151) 84018 Avignon (France)

Annales de l’institut Fourier (2010)

  • Volume: 60, Issue: 1, page 257-290
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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We study the behavior of the first eigenvalues of the Hodge Laplacian acting on differential forms under adiabatic collapsing of a riemannian flow ℱ on a closed manifold M . We show that the number of small eigenvalues is related to the basic cohomology of ℱ , and give spectral criteria for the vanishing of the Álvarez class and the Euler class of the flow. We also define a diophantine invariant of the flow which is related to the asymptotical behavior of the small eigenvalues. An appendix is devoted to arithmetic properties of riemannian flows.

How to cite

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Jammes, Pierre. "Effondrement, spectre et propriétés diophantiennes des flots riemanniens." Annales de l’institut Fourier 60.1 (2010): 257-290. <http://eudml.org/doc/116268>.

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UR - http://eudml.org/doc/116268
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References

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  1. R. Almedia, P. Molino, Flots riemanniens sur les 4-variétés compactes, Tôhoku Math. J. 38 (1986), 313-326 Zbl0603.57017MR843815
  2. J. A. Álvarez López, The basic component of the mean curvature form of riemannian foliations, Ann. Global Anal. Geom. 10 (1992), 179-194 Zbl0759.57017MR1175918
  3. J. A. Álvarez López, Y. A. Kordyukov, Adiabatic limits and spectral sequences for Riemannian foliations, Geom. funct. anal. 10 (2000), 977-1027 Zbl0965.57024MR1800061
  4. R. Bott, L. W. Tu, Differential form in algebraic topology, (1982), Springer Verlag Zbl0496.55001MR658304
  5. Y. Carrière, Flots riemanniens, Structures transverses des feuilletages 116 (1984), 31-52, SMF Zbl0548.58033MR755161
  6. Y. Carrière, Les propriétés topologiques des flots riemanniens retrouvées à l’aide du théorème des variétés presque plates, Math. Z. 186 (1984), 393-400 Zbl0524.57018MR744829
  7. J. Cheeger, K. Fukaya, M. Gromov, Nilpotent structures and invariant metrics on collapsed manifolds, J. Am. Math. Soc. 5 (1992), 327-372 Zbl0758.53022MR1126118
  8. B. Colbois, G. Courtois, A note on the first non zero eigenvalue of the Laplacian acting on p -forms, Manuscripta Math. 68 (1990), 143-160 Zbl0709.53031MR1063223
  9. B. Colbois, G. Courtois, Petites valeurs propres des p -formes différentielles et classe d’Euler des S 1 -fibrés, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 33 (2000), 611-645 Zbl0968.58001MR1834497
  10. J. Dodziuk, Eigenvalues of the Laplacian on forms, Proc. Am. Math. Soc. 85 (1982), 438-443 Zbl0502.58038MR656119
  11. A. El Kacimi, V. Sergiescu, G. Hector, La cohomologie basique d’un feuilletage riemannien est de dimension finie, Math. Z. 188 (1985), 593-599 Zbl0536.57013MR774559
  12. D. Epstein, Transversaly hyperbolic foliations, Structures transverses des feuilletages 116 (1984), 53-69, SMF Zbl0575.57014
  13. R. Forman, Spectral Sequences and Adiabatic Limits, Comm. Math. Phys. 168 (1995), 57-116 Zbl0827.58001MR1324391
  14. É. Ghys, Classification des feuilletages totalement géodésiques de codimension un, Comment. Math. Helv. 58 (1983), 543-572 Zbl0534.57015MR728452
  15. É. Ghys, Feuilletages riemanniens sur les variétés simplement connexes, Ann. Inst. Fourier 34 (1984), 203-223 Zbl0525.57024MR766280
  16. P. Jammes, Petites valeurs propres des fibrés principaux en tores 
  17. P. Jammes, Sur le spectre des fibrés en tore qui s’effondrent, Manuscripta Math. 110 (2003), 13-31 Zbl1027.58006MR1951797
  18. P. Jammes, Effondrements et petites valeurs propres des formes différentielles, Sémin. Théor. Spectr. Géom. 23 (2005), 115-124 Zbl1106.58024MR2270225
  19. F. W. Kamber, P. Tondeur, Duality for Riemannian foliations, Singularities 40 (1983), 609-618, Amer. Math. Soc. Zbl0523.57019MR713097
  20. F. W. Kamber, P. Tondeur, Duality theorems for foliations, Structures transverses des feuilletages 116 (1984), 108-116, SMF Zbl0559.58022MR755165
  21. J. Lott, Collapsing and the differential form Laplacian : the case of a smooth limit space, Duke Math. J. 114 (2002), 267-306 Zbl1072.58023MR1920190
  22. J. Lott, Remark about the spectrum of the p -form Laplacian under a collapse with curvature bounded below, Proc. Am. Math. Soc. 132 (2004), 911-198 Zbl1042.58018MR2019973
  23. P. Massot, Geodesible contact structures on 3–manifolds, Geom. Topol. 12 (2008), 1729-1776 Zbl1152.57017MR2421139
  24. R. Mazzeo, R. Melrose, The adiabatic limit, Hodge cohomology and Leray spectral sequence for a fibration, J. Differ. Geom. 31 (1990), 185-213 Zbl0702.58007MR1030670
  25. P. Molino, Feuilletages transversalement complets et applications, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 10 (1977), 289-307 Zbl0368.57007MR458446
  26. P. Molino, V. Sergiescu, Deux remarques sur les flots riemanniens, Manuscripta Math. 51 (1985), 145-161 Zbl0585.53026MR788676
  27. P. Mounoud, Feuilletages totalement geodesiques, flots riemanniens et variétés de Seifert, Ann. Inst. Fourier 55 (2005), 1411-1438 Zbl1080.53024MR2157171
  28. P. Pansu, Effondrements des variétés riemanniennes, Séminaire Bourbaki 83/84 121–122 (1985), 63-82, SMF 
  29. J. I. Royo Prieto, The Euler class for Riemannian flows, C. R. Acad. Sci. Paris 332 (2001), 45-50 Zbl0987.53009MR1805626
  30. J. I. Royo Prieto, The Gysin sequence for Riemannian flows, Global Differential Geometry : The Mathematical Legacy of Alfred Gray 288 (2001), 415-419, AMS Zbl0999.58002MR1871045
  31. K. S. Sarkaria, The de Rham cohomology of foliated manifolds, (1974) 
  32. K. S. Sarkaria, A finiteness theorem for foliated manifolds, J. Math. Soc. Japan 30 (1978), 687-696 Zbl0398.57012MR513077
  33. W. Schmidt, Diophantine approximations, 785 (1980), Springer Verlag MR568710
  34. J. Sondow, Irrationality Measures, Irrationality Bases, and a Theorem of Jarnik 
  35. Ph. Tondeur, Geometry of foliations, (1997), Birkhäuser Zbl0905.53002MR1456994

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