Valeurs zêta multiples. Une introduction
Journal de théorie des nombres de Bordeaux (2000)
- Volume: 12, Issue: 2, page 581-595
- ISSN: 1246-7405
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topWaldschmidt, Michel. "Valeurs zêta multiples. Une introduction." Journal de théorie des nombres de Bordeaux 12.2 (2000): 581-595. <http://eudml.org/doc/248505>.
@article{Waldschmidt2000,
abstract = {Soit $\underline\{s\} = (s_1,\dots , s_k)$ un $k$-uplet d’entiers positifs avec $k \ge 1.$ Pour $s_1 \ge 2$, la série\begin\{equation*\}\sum \_\{n\_1 > \dots > n\_k \ge 1\} n^\{-s\_k\}\_1 \dots n^\{-s\_k\}\_k\end\{equation*\}converge et sa somme est notée $\zeta (\underline\{s\})$. Dans le cas $k = 1$ il s’agit simplement des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers positifs. Quelles relations algébriques existent entre ces nombres ? Le produit $\zeta (s^\{\prime \}) \zeta (s^\{\prime \prime \})$ de deux valeurs de fonctions zêta multiples est une combinaison linéaire de $\zeta (\underline\{s\})$, comme on le voit facilement en multipliant les séries : c’est le produit de mélange lié aux séries. D’autre part une autre expression pour le nombre $\zeta (\underline\{s\})$ est donnée par une intégrale itérée (intégrale de Chen); cela fournit une autre relation quadratique exprimant de nouveau le produit $\zeta (s^\{\prime \}) \zeta (s^\{\prime \prime \})$ comme une combinaison linéaire de $\zeta (\underline\{s\})$ : c’est le produit de mélange lié aux intégrales. On conjecture que ces deux produits de mélange suffisent à décrire toutes les relations algébriques entre les nombres $\zeta (\underline\{s\})$. Se pose alors le problème d’étudier l’algèbre engendrée par des générateurs (les multizêta symboliques) indexés par les $k$-uplets $\underline\{s\}$ et définie par les relations données par ces deux produits de mélange; on obtient ainsi l’algèbre MZV, dont Écalle est en train de déterminer la structure. Pour définir des séries génératrices permettant de coder simultanément tous les multizêta symboliques il convient d’inclure les $\underline\{s\}$ correspondant à des séries divergentes (avec $s_1 = 1$). Nous mentionnons enfin brièvement quelques résultats de l’équipe de Petitot sur les polylogarithmes, et encore plus brièvement plusieurs sujets connexes.},
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AB - Soit $\underline{s} = (s_1,\dots , s_k)$ un $k$-uplet d’entiers positifs avec $k \ge 1.$ Pour $s_1 \ge 2$, la série\begin{equation*}\sum _{n_1 > \dots > n_k \ge 1} n^{-s_k}_1 \dots n^{-s_k}_k\end{equation*}converge et sa somme est notée $\zeta (\underline{s})$. Dans le cas $k = 1$ il s’agit simplement des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers positifs. Quelles relations algébriques existent entre ces nombres ? Le produit $\zeta (s^{\prime }) \zeta (s^{\prime \prime })$ de deux valeurs de fonctions zêta multiples est une combinaison linéaire de $\zeta (\underline{s})$, comme on le voit facilement en multipliant les séries : c’est le produit de mélange lié aux séries. D’autre part une autre expression pour le nombre $\zeta (\underline{s})$ est donnée par une intégrale itérée (intégrale de Chen); cela fournit une autre relation quadratique exprimant de nouveau le produit $\zeta (s^{\prime }) \zeta (s^{\prime \prime })$ comme une combinaison linéaire de $\zeta (\underline{s})$ : c’est le produit de mélange lié aux intégrales. On conjecture que ces deux produits de mélange suffisent à décrire toutes les relations algébriques entre les nombres $\zeta (\underline{s})$. Se pose alors le problème d’étudier l’algèbre engendrée par des générateurs (les multizêta symboliques) indexés par les $k$-uplets $\underline{s}$ et définie par les relations données par ces deux produits de mélange; on obtient ainsi l’algèbre MZV, dont Écalle est en train de déterminer la structure. Pour définir des séries génératrices permettant de coder simultanément tous les multizêta symboliques il convient d’inclure les $\underline{s}$ correspondant à des séries divergentes (avec $s_1 = 1$). Nous mentionnons enfin brièvement quelques résultats de l’équipe de Petitot sur les polylogarithmes, et encore plus brièvement plusieurs sujets connexes.
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