# Valeurs zêta multiples. Une introduction

• Volume: 12, Issue: 2, page 581-595
• ISSN: 1246-7405

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## Abstract

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For positive integers ${s}_{1},\cdots ,{s}_{k}$ with ${s}_{1}\ge 2$, the series$\sum _{{n}_{1}>\cdots >{n}_{k}\ge 1}{n}_{1}^{-{s}_{k}}\cdots {n}_{k}^{-{s}_{k}}$converges and its sum is denoted by $\zeta \left({s}_{1},\cdots ,{s}_{k}\right)$. In case $k=1$ this is nothing else than the value of the Riemann zeta function at the point ${s}_{1}$. What are the algebraic relations between these numbers? these numbers? The product of two multiple zeta values is again a multiple zeta value: this is easily checked by multiplying the two series, and using a shuffie» product. An example is$\zeta \left(2\right)\zeta \left(3\right)=\zeta \left(2,3\right)+\zeta \left(3,2\right)+\zeta \left(5\right),$There are other quadratic relations between these numbers, which arise from another expression of $\zeta \left(\underline{s}\right)=\zeta \left({s}_{1},\cdots ,{s}_{k}\right)$ as a (Chen) iterated integral:$\zeta \left(\underline{s}\right)={\int }_{{\Delta }_{p}}{\omega }_{{ϵ}_{1}}\left({t}_{1}\right)\cdots {\omega }_{{ϵ}_{p}}\left({t}_{p}\right),$with the following notation : $p={s}_{1}+\cdots +{s}_{k}$, the sequence $\left({ϵ}_{1},\cdots ,{ϵ}_{p}\right)$ of elements in {0, 1} is defined by writing the word${x}_{0}^{{s}_{1}-1}{x}_{1}\cdots {x}_{0}^{{s}_{k}-1}{x}_{1}={x}_{{ϵ}_{1}}\cdots {x}_{{ϵ}_{p}}$on the alphabet $X=\left\{{x}_{0},{x}_{1}\right\}$, the differential forms ${\omega }_{ϵ}$ are defined by${\omega }_{0}\left(t\right)=\frac{dt}{t}\phantom{\rule{4.0pt}{0ex}}\text{et}\phantom{\rule{4.0pt}{0ex}}{\omega }_{1}\left(t\right)=\frac{dt}{1-t}$and ${\Delta }_{p}$ is the following simplex in ${ℝ}_{P}$:${\Delta }_{p}=\left\{\underline{t}\in {ℝ}^{p};1>{t}_{1}>\cdots >{t}_{p}>0\right\}.$Again this yields an expression of the product of two multiple zeta values as a linear combination of multiple zeta values, a simple example being$\zeta \left(2\right)\zeta \left(3\right)=\zeta \left(2,3\right)+3\zeta \left(3,2\right)+6\zeta \left(4,1\right).$The main conjecture is that these two types of relations are sufficient to describe all algebraic relations between these numbers. This subject has deep connections with many other mathematical topics: combinatoric (the theory of quasisymmetric functions, Radford’s Theorem and Lyndon words), Lie and Hopf algebras, Écalle’s theory of resurgent series, Goncharov’s work on mixed Tate motives on Spec$ℤ$, polylogarithms, monodromy of differential equations, the fundamental group of the projective line minus three points and Belyi’s Theorem, the absolute Galois group of $ℚ$, the group of Grothendieck-Teichmüller, knots theory and Vassiliev invariants, $K$-theory, Feynman diagrams and quantum field theory, quasi-triangular quasi-Hopf algebras and Drinfeld’s associator ${\Phi }_{KZ}$ (related to the connexion of Knizhnik-Zamolodchikov).

## How to cite

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Waldschmidt, Michel. "Valeurs zêta multiples. Une introduction." Journal de théorie des nombres de Bordeaux 12.2 (2000): 581-595. <http://eudml.org/doc/248505>.

@article{Waldschmidt2000,
abstract = {Soit $\underline\{s\} = (s_1,\dots , s_k)$ un $k$-uplet d’entiers positifs avec $k \ge 1.$ Pour $s_1 \ge 2$, la série\begin\{equation*\}\sum \_\{n\_1 &gt; \dots &gt; n\_k \ge 1\} n^\{-s\_k\}\_1 \dots n^\{-s\_k\}\_k\end\{equation*\}converge et sa somme est notée $\zeta (\underline\{s\})$. Dans le cas $k = 1$ il s’agit simplement des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers positifs. Quelles relations algébriques existent entre ces nombres ? Le produit $\zeta (s^\{\prime \}) \zeta (s^\{\prime \prime \})$ de deux valeurs de fonctions zêta multiples est une combinaison linéaire de $\zeta (\underline\{s\})$, comme on le voit facilement en multipliant les séries : c’est le produit de mélange lié aux séries. D’autre part une autre expression pour le nombre $\zeta (\underline\{s\})$ est donnée par une intégrale itérée (intégrale de Chen); cela fournit une autre relation quadratique exprimant de nouveau le produit $\zeta (s^\{\prime \}) \zeta (s^\{\prime \prime \})$ comme une combinaison linéaire de $\zeta (\underline\{s\})$ : c’est le produit de mélange lié aux intégrales. On conjecture que ces deux produits de mélange suffisent à décrire toutes les relations algébriques entre les nombres $\zeta (\underline\{s\})$. Se pose alors le problème d’étudier l’algèbre engendrée par des générateurs (les multizêta symboliques) indexés par les $k$-uplets $\underline\{s\}$ et définie par les relations données par ces deux produits de mélange; on obtient ainsi l’algèbre MZV, dont Écalle est en train de déterminer la structure. Pour définir des séries génératrices permettant de coder simultanément tous les multizêta symboliques il convient d’inclure les $\underline\{s\}$ correspondant à des séries divergentes (avec $s_1 = 1$). Nous mentionnons enfin brièvement quelques résultats de l’équipe de Petitot sur les polylogarithmes, et encore plus brièvement plusieurs sujets connexes.},
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AB - Soit $\underline{s} = (s_1,\dots , s_k)$ un $k$-uplet d’entiers positifs avec $k \ge 1.$ Pour $s_1 \ge 2$, la série\begin{equation*}\sum _{n_1 &gt; \dots &gt; n_k \ge 1} n^{-s_k}_1 \dots n^{-s_k}_k\end{equation*}converge et sa somme est notée $\zeta (\underline{s})$. Dans le cas $k = 1$ il s’agit simplement des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers positifs. Quelles relations algébriques existent entre ces nombres ? Le produit $\zeta (s^{\prime }) \zeta (s^{\prime \prime })$ de deux valeurs de fonctions zêta multiples est une combinaison linéaire de $\zeta (\underline{s})$, comme on le voit facilement en multipliant les séries : c’est le produit de mélange lié aux séries. D’autre part une autre expression pour le nombre $\zeta (\underline{s})$ est donnée par une intégrale itérée (intégrale de Chen); cela fournit une autre relation quadratique exprimant de nouveau le produit $\zeta (s^{\prime }) \zeta (s^{\prime \prime })$ comme une combinaison linéaire de $\zeta (\underline{s})$ : c’est le produit de mélange lié aux intégrales. On conjecture que ces deux produits de mélange suffisent à décrire toutes les relations algébriques entre les nombres $\zeta (\underline{s})$. Se pose alors le problème d’étudier l’algèbre engendrée par des générateurs (les multizêta symboliques) indexés par les $k$-uplets $\underline{s}$ et définie par les relations données par ces deux produits de mélange; on obtient ainsi l’algèbre MZV, dont Écalle est en train de déterminer la structure. Pour définir des séries génératrices permettant de coder simultanément tous les multizêta symboliques il convient d’inclure les $\underline{s}$ correspondant à des séries divergentes (avec $s_1 = 1$). Nous mentionnons enfin brièvement quelques résultats de l’équipe de Petitot sur les polylogarithmes, et encore plus brièvement plusieurs sujets connexes.
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ER -

## References

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