Valeurs zêta multiples. Une introduction

Michel Waldschmidt

Journal de théorie des nombres de Bordeaux (2000)

  • Volume: 12, Issue: 2, page 581-595
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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For positive integers s 1 , , s k with s 1 2 , the series n 1 > > n k 1 n 1 - s k n k - s k converges and its sum is denoted by ζ ( s 1 , , s k ) . In case k = 1 this is nothing else than the value of the Riemann zeta function at the point s 1 . What are the algebraic relations between these numbers? these numbers? The product of two multiple zeta values is again a multiple zeta value: this is easily checked by multiplying the two series, and using a shuffie» product. An example is ζ ( 2 ) ζ ( 3 ) = ζ ( 2 , 3 ) + ζ ( 3 , 2 ) + ζ ( 5 ) , There are other quadratic relations between these numbers, which arise from another expression of ζ ( s ̲ ) = ζ ( s 1 , , s k ) as a (Chen) iterated integral: ζ ( s ̲ ) = Δ p ω ϵ 1 ( t 1 ) ω ϵ p ( t p ) , with the following notation : p = s 1 + + s k , the sequence ( ϵ 1 , , ϵ p ) of elements in {0, 1} is defined by writing the word x 0 s 1 - 1 x 1 x 0 s k - 1 x 1 = x ϵ 1 x ϵ p on the alphabet X = { x 0 , x 1 } , the differential forms ω ϵ are defined by ω 0 ( t ) = d t t et ω 1 ( t ) = d t 1 - t and Δ p is the following simplex in P : Δ p = { t ̲ p ; 1 > t 1 > > t p > 0 } . Again this yields an expression of the product of two multiple zeta values as a linear combination of multiple zeta values, a simple example being ζ ( 2 ) ζ ( 3 ) = ζ ( 2 , 3 ) + 3 ζ ( 3 , 2 ) + 6 ζ ( 4 , 1 ) . The main conjecture is that these two types of relations are sufficient to describe all algebraic relations between these numbers. This subject has deep connections with many other mathematical topics: combinatoric (the theory of quasisymmetric functions, Radford’s Theorem and Lyndon words), Lie and Hopf algebras, Écalle’s theory of resurgent series, Goncharov’s work on mixed Tate motives on Spec , polylogarithms, monodromy of differential equations, the fundamental group of the projective line minus three points and Belyi’s Theorem, the absolute Galois group of , the group of Grothendieck-Teichmüller, knots theory and Vassiliev invariants, K -theory, Feynman diagrams and quantum field theory, quasi-triangular quasi-Hopf algebras and Drinfeld’s associator Φ K Z (related to the connexion of Knizhnik-Zamolodchikov).

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Waldschmidt, Michel. "Valeurs zêta multiples. Une introduction." Journal de théorie des nombres de Bordeaux 12.2 (2000): 581-595. <http://eudml.org/doc/248505>.

@article{Waldschmidt2000,
abstract = {Soit $\underline\{s\} = (s_1,\dots , s_k)$ un $k$-uplet d’entiers positifs avec $k \ge 1.$ Pour $s_1 \ge 2$, la série\begin\{equation*\}\sum \_\{n\_1 &gt; \dots &gt; n\_k \ge 1\} n^\{-s\_k\}\_1 \dots n^\{-s\_k\}\_k\end\{equation*\}converge et sa somme est notée $\zeta (\underline\{s\})$. Dans le cas $k = 1$ il s’agit simplement des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers positifs. Quelles relations algébriques existent entre ces nombres ? Le produit $\zeta (s^\{\prime \}) \zeta (s^\{\prime \prime \})$ de deux valeurs de fonctions zêta multiples est une combinaison linéaire de $\zeta (\underline\{s\})$, comme on le voit facilement en multipliant les séries : c’est le produit de mélange lié aux séries. D’autre part une autre expression pour le nombre $\zeta (\underline\{s\})$ est donnée par une intégrale itérée (intégrale de Chen); cela fournit une autre relation quadratique exprimant de nouveau le produit $\zeta (s^\{\prime \}) \zeta (s^\{\prime \prime \})$ comme une combinaison linéaire de $\zeta (\underline\{s\})$ : c’est le produit de mélange lié aux intégrales. On conjecture que ces deux produits de mélange suffisent à décrire toutes les relations algébriques entre les nombres $\zeta (\underline\{s\})$. Se pose alors le problème d’étudier l’algèbre engendrée par des générateurs (les multizêta symboliques) indexés par les $k$-uplets $\underline\{s\}$ et définie par les relations données par ces deux produits de mélange; on obtient ainsi l’algèbre MZV, dont Écalle est en train de déterminer la structure. Pour définir des séries génératrices permettant de coder simultanément tous les multizêta symboliques il convient d’inclure les $\underline\{s\}$ correspondant à des séries divergentes (avec $s_1 = 1$). Nous mentionnons enfin brièvement quelques résultats de l’équipe de Petitot sur les polylogarithmes, et encore plus brièvement plusieurs sujets connexes.},
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AB - Soit $\underline{s} = (s_1,\dots , s_k)$ un $k$-uplet d’entiers positifs avec $k \ge 1.$ Pour $s_1 \ge 2$, la série\begin{equation*}\sum _{n_1 &gt; \dots &gt; n_k \ge 1} n^{-s_k}_1 \dots n^{-s_k}_k\end{equation*}converge et sa somme est notée $\zeta (\underline{s})$. Dans le cas $k = 1$ il s’agit simplement des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers positifs. Quelles relations algébriques existent entre ces nombres ? Le produit $\zeta (s^{\prime }) \zeta (s^{\prime \prime })$ de deux valeurs de fonctions zêta multiples est une combinaison linéaire de $\zeta (\underline{s})$, comme on le voit facilement en multipliant les séries : c’est le produit de mélange lié aux séries. D’autre part une autre expression pour le nombre $\zeta (\underline{s})$ est donnée par une intégrale itérée (intégrale de Chen); cela fournit une autre relation quadratique exprimant de nouveau le produit $\zeta (s^{\prime }) \zeta (s^{\prime \prime })$ comme une combinaison linéaire de $\zeta (\underline{s})$ : c’est le produit de mélange lié aux intégrales. On conjecture que ces deux produits de mélange suffisent à décrire toutes les relations algébriques entre les nombres $\zeta (\underline{s})$. Se pose alors le problème d’étudier l’algèbre engendrée par des générateurs (les multizêta symboliques) indexés par les $k$-uplets $\underline{s}$ et définie par les relations données par ces deux produits de mélange; on obtient ainsi l’algèbre MZV, dont Écalle est en train de déterminer la structure. Pour définir des séries génératrices permettant de coder simultanément tous les multizêta symboliques il convient d’inclure les $\underline{s}$ correspondant à des séries divergentes (avec $s_1 = 1$). Nous mentionnons enfin brièvement quelques résultats de l’équipe de Petitot sur les polylogarithmes, et encore plus brièvement plusieurs sujets connexes.
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