‘On the Concept of Number in Mathematics’: Leopold Kronecker’s 1891 Berlin Lectures

Jacqueline Boniface; Norbert Schappacher

Revue d'histoire des mathématiques (2001)

  • Volume: 7, Issue: 2, page 207-277
  • ISSN: 1262-022X

Abstract

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The text published here is the last lecture course, on the notion of number in mathematics, taught by the Berlin mathematician Leopold Kronecker (1823–1891). These lectures, published here for the first time, give interesting insights into Kronecker’s philosophy of mathematics and in particular into his concept of number. They clarify Kronecker’s position within the movement of ‘arithmetization’ and allow, in particular, for a better understanding of why and how Kronecker opposed the dominant viewpoint within this movement (held by Weierstrass, Cantor, Dedekind, and others). Kronecker introduced whole numbers mathematically, and proposed to integrate all of algebra and analysis into arithmetic. Today certain positions held by Kronecker may be seen as anticipating constructivist or intuitionist principles of the twentieth century.

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Boniface, Jacqueline, and Schappacher, Norbert. "‘Sur le concept de nombre en mathématique’ Cours inédit de Leopold Kronecker à Berlin (1891)." Revue d'histoire des mathématiques 7.2 (2001): 207-277. <http://eudml.org/doc/252057>.

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References

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  1. [1] BIERMANN ( Otto) [1887] Theorie der analytischen Funktionen, Leipzig : Teubner, 1887. 
  2. [2] CANTOR ( Georg) [Werke] Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Hrsg. von E.Zermelo nebst einem Lebenslauf Cantors von A.Fraenkel, Berlin, 1932 ; Nachdruck Springer Verlag, 1990. Zbl0004.05401MR616083JFM58.0043.01
  3. [3] CANTOR ( Georg) [1878] Ein Beitrag zur Mannigfaltigskeitslehre, Journal für reine und angewandte Mathematik, 84 (1878), p.242–258 ; [Werke], p.119–133. 
  4. [4] CAUCHY ( Augustin Louis) [Œuvres] Œuvres complètes, Paris : Gauthier-Villars, 26 vols., 1882–1858. 
  5. [5] CAUCHY ( Augustin Louis) [1821] Cours d’analyse de l’École royale polytechnique, Paris : Debure, 1821 ; réimp. Paris : Gabay, 1989. MR1193026
  6. [6] LEJEUNE-DIRICHLET ( Johann Peter Gustav) [Werke]Werke (sous la direction de L.Kronecker, puis de L.Fuchs), 2 vol., Berlin : Reimer, 1889–1897. 
  7. [7] LEJEUNE-DIRICHLET ( Johann Peter Gustav) [1851] De formarum binarium secundi gradus compositione, commentatio qua ad audiendam orationem pro loco in facultate philosophica rite obtinendo die VI. Mens. Maii hor. XII. Publice habendam invitat auctor P.G.Lejeune Dirichlet, phil. Doc. Prof. Publ. Ord. Desig., berolini typis academicis, 1851, reproduit en version remaniée dans [Werke, 2, p.105–114]. 
  8. [8] FINE ( Henry Burchard) [1890] The Number System of Algebra Treated Theoretically and Historically, Boston & New-York : Leach, Shewell & Sanborn, 1890. JFM23.0061.01
  9. [9] FREGE ( Gottlob) [1884] Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau : W. Koebner, 1884 ; trad. fr. et introd. par C.Imbert, Paris : Éd. du Seuil, 1972. 
  10. [10] GAUSS ( Carl Friedrich) [1801] Disquisitiones arithmeticæ, Leipzig : Gerhard Fleischer, 1801 ; trad. fr. parue chez Jacques Gabay, Paris, 1989. Zbl0136.32301
  11. [11] HANKEL ( Hermann) [1867] Vorlesung über die komplexen Zahlen und ihre Funktionen, 1epartie : Theorie der complexen Zahlensysteme, Leipzig : Voss, 1867. 
  12. [12] HANKEL ( Hermann) [1874] Zur Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter, Leipzig, 1974 ; rééd. sous la direction de J.E.Hofmann, Hildesheim : Olms, 1965. MR175730
  13. [13] HEGEL ( Georg Wilhelm Friedrich) [1801] Dissertatio philosophica de orbitis planetarum ; trad. allemande dans Erste Druckschriften, Leipzig : Lasson, 1928 ; trad. fr. avec introd. par F.de Gandt, “Les orbites des planètes", Paris : Vrin, 1979. 
  14. [14] HEGEL ( Georg Wilhelm Friedrich) [1833] Wissenschaft der Logik, Ester Band : Die objective Logik, dans Hegel, Werke, éd. par L.v.Henning, 1833/1834. 
  15. [15] HELMHOLTZ ( Hermann) [1887] “Zählen und Messen”, dans Philosophische Aufsätze, Eduard Zeller zu seinem fünfzigjährigen Doctor-Jubiläum gewidmet, Leipzig : Fues, 1887, p.17–52 ; republié dans Wissenschaftliche Abhandlungen von Hermann von Helmholtz, vol.3, 1895, p.356–391. 
  16. [16] HERMITE ( Charles) [1884] Rapport sur la thèse de J.Molk (24 juillet 1884), Annexe 1 de Gispert (Hélène), La France mathématique, Cahiers d’histoire et de philosophie des sciences, 34 (1991), p.337. 
  17. [17] HILBERT ( David) [1897] Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 4 (1897), p.175–546 ; reproduit dans Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, I, p.63–363. 
  18. [18] HUSSERL ( Edmund) [1891] Philosophie der Arithmetik ; trad. fr. Philosophie de l’Arithmétique, par J.English, Paris : PUF, 1972). 
  19. [19] JACOBI ( Carl Gustav Jacob) [1829] Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Königsberg, 1829. 
  20. [20] KIRCHHOFF ( Gustav Robert) [1876] Vorlesungen über mathematische Physik, Mechanik, Leipzig : Teubner, 1876. JFM08.0542.01
  21. [21] KLEIN ( Felix) [1895] Über Arithmetisierung der Mathematik, discours (2 novembre 1895) devant l’Académie des sciences à Göttingen, Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Heft 2 (1895) ; Gesammelte mathematische Abhandlungen, éd. par Fricke, Vermeil, tome 2, Berlin : Springer, 1922, p.232–240. 
  22. [22] KUMMER ( Ernst Eduard) [CP] Collected Papers, vol. I, Contributions to Number Theory, éd. par A.Weil, Berlin-Heidelberg-NewYork : Springer-Verlag, 1975. Zbl0327.01019MR465760
  23. [23] KUMMER ( Ernst Eduard) [1851] Mémoire sur la théorie des nombres complexes composés de racines de l’unité et de nombres entiers, Journal de mathématiques pures et appliquées XVI, p.377-498. 
  24. [24] KRONECKER ( Leopold) [Werke] Leopold Kroneckers Werke, cinq tomes, éd. par Kurt Hensel, Leipzig, 1895–1930 ; réimp. NewYork, 1968. 
  25. [25] KRONECKER ( Leopold) [1870] Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenzahl idealer complexer Zahlen, Monatsbericht der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1870, p.881–889 ; [Werke], I, p.273–282. JFM02.0097.01
  26. [26] KRONECKER ( Leopold) [1881] Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen, Festschrift zu Herrn Ernst Kummers fünfzigjährigem Doctor-Jubiläum, 10. September 1881, Berlin : Reimer ; republié dans Journal für die reine und angewandte Mathematik, 92 (1882), p.1–122 ; reproduit dans [Werke, II, p.239–387]. JFM14.0038.02
  27. [27] KRONECKER ( Leopold) [1887] Über den Zahlbegriff, dans Philosophische Aufsätze, Eduard Zeller zu seinem fünfzigjährigen Doctor-Jubiläum gewidmet, Leipzig 1887, No VIII, p.261–274 ; remanié et republié dans Journal reine angew. Math., 101, p.337–355 ; reproduit dans [Werke III–1, p.251–274] ; trad. fr. avec introd. par J.Boniface dans Gazette des Mathématiciens, 81 (1999), p.49–70. 
  28. [28] KRONECKER ( Leopold) [1888] Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen und der Modulsysteme, Sitzungsber. Kgl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin 1888, p.429–438, 447–465, 557–578, 595–612, 983–1016 ; [Werke, III–2, p.3–114]. JFM22.0097.04
  29. [29] KRONECKER ( Leopold) [1901] Vorlesungen über Zahlentheorie, Erster Band, 1. bis 31. Vorlesung, bearbeitet und herausgegeben von Kurt Hensel, Leipzig : Teubner, 1901 ; reprint Springer 1978. Zbl0394.10002MR529431
  30. [30] LIPSCHITZ ( Rudolf Otto Sigismund) [1877] Lehrbuch der Analysis, 1e partie : “Grundlagen der Analysis", Bonn : Cohen & Sohn, 1877. 
  31. [31] MOLK ( Jules) [1909] Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, tome I : Arithmétique, Paris : Gauthier-Villars, et Leipzig : Teubner, 1909 ; section I3 : Nombres irrationnels et notion de limite (exposé, d’après l’article allemand de A.Pringsheim (Munich), par J.Molk), p.133–208. JFM40.0225.08
  32. [32] PEANO ( Giuseppe) [1889] Arithmetices principia, nova methodo exposita, Torino : Bocca, 1889. JFM21.0051.02
  33. [33] PEANO ( Giuseppe) [1890] Sur une courbe qui remplit toute une aire plane, Mathematische Annalen, 36 (1890), p.157–160. MR1510617JFM22.0405.01
  34. [34] PEIRCE ( Charles Sanders) [1885] On the Algebra of Logic : a Contribution to the Philosophy of Notation, American Journal of Mathematics 7, no 2, p.180–202. MR1505381JFM17.0044.02
  35. [35] PRINGSHEIM ( Alfred) [1898] Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, Erster Band, Leipzig : Teubner, 1898–1904 ; IA3 : “Irrationalzahlen und Konvergenz unendlicher Prozesse", p.47–146. JFM29.0206.01
  36. [36] PURKERT ( Walter) & ILGAUDS ( Hans Joachim) [1987] Georg Cantor 1845–1918 ; Vita Mathematica, vol. 1, Basel-Boston-Stuttgart : Birkhäuser, 1987. Zbl0617.01018MR892321
  37. [37] RUSSELL ( Bertrand) [1903] Principles of Mathematics, London : Allen & Unwin LTD ; trad. fr. dans “Écrits de logique philosophique", Paris : PUF, 1989. 
  38. [38] SCHUBERT ( Hermann) [1885] System der Arithmetik und Algebra als Leitfaden für den Unterricht in höheren Schulen, Potsdam : Aug. Stein, 1885. JFM17.0052.01
  39. [39] STUKE ( H.) [1974] “Hegelianismus”, dans Ritter (Joachim H.), éd., Historisches Wörterbuch der Philosophie, vol.3, Darmstadt, 1974, p. 1026–1030. 
  40. [40] SYLVESTER ( James Joseph) [CP] The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester, 4 vols, Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1904–1912 ; réimp., NewYork : Chelsea Publ. Co., 1973. JFM43.0026.01
  41. [41] SYLVESTER ( James Joseph) [1851] On the General Theory of Associated Algebraical Forms, Cambridge and Dublin Mathematical Journal, vi. (1851), p.289–293 ; reproduit dans [CP,I, p.198–202]. 
  42. [42] TANNERY ( Jules) [1886] Introduction à la théorie des fonctions d’une variable, Paris : Hermann, 1886. JFM18.0328.02
  43. [43] VITRAC ( Bernard) [1994] Euclide, Les Éléments, Paris : PUF, vol. 2, 1994. MR1304053
  44. [44] WEYL ( Hermann) [1918] Das Kontinuum, Kritische Untersuchung über die Grundlagen der Analysis, Leipzig : Veit & Comp., 1918. Zbl0005.15403JFM46.0312.01
  45. [45] WERDER ( Karl) [1841] Logik, als Commentar und Ergänzung zu Hegels Wissenschaft der Logik, 1. Abt., Berlin : Veit, 1841. 
  46. [46] WUSSING ( Hans) [1969] Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffs, Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte der abstrakten Gruppentheorie, Berlin : VEB Verlag der Wissenschaften, 1969 ; trad. angl. The Genesis of the Abstract Group Concept. A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory, Cambridge Ma. : MIT Press, 1984. Zbl0199.29101MR282776

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