The 1874 Controversy between Camille Jordan and Leopold Kronecker

Frédéric Brechenmacher

Revue d'histoire des mathématiques (2007)

  • Volume: 13, Issue: 2, page 187-257
  • ISSN: 1262-022X

Abstract

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During the whole of 1874, Camille Jordan and Leopold Kronecker quarrelled vigorously over the organisation of the theory of bilinear forms. That theory promised a “general” and “homogeneous” treatment of numerous questions arising in various 19th-century theoretical contexts, and it hinged on two theorems, stated independently by Jordan and Weierstrass, that would today be considered equivalent. It was, however, the perceived difference between those two theorems that sparked the 1874 controversy. Focusing on this quarrel allows us to explore the algebraic identity of the polynomial practices of the manipulations of forms in use before the advent of structural approaches to linear algebra. The latter approaches identified these practices with methods for the classification of similar matrices. We show that the practices—Jordan’s canonical reduction and Kronecker’s invariant computation—reflect identities inseparable from the social context of the time. Moreover, these practices reveal not only tacit knowledge, local ways of thinking, but also—in light of a long history tracing back to the work of Lagrange, Laplace, Cauchy, and Hermite—two internal philosophies regarding the significance of generality which are inseparable from two disciplinary ideals opposing algebra and arithmetic. By interrogating the cultural identities of such practices, this study aims at a deeper understanding of the history of linear algebra without focusing on issues related to the origins of theories or structures.

How to cite

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Brechenmacher, Frédéric. "La controverse de 1874 entre Camille Jordan et Leopold Kronecker." Revue d'histoire des mathématiques 13.2 (2007): 187-257. <http://eudml.org/doc/274999>.

@article{Brechenmacher2007,
abstract = {Une vive querelle oppose en 1874 Camille Jordan et Leopold Kronecker sur l’organisation de la théorie des formes bilinéaires, considérée comme permettant un traitement « général » et « homogène » de nombreuses questions développées dans des cadres théoriques variés au xixe siècle et dont le problème principal est reconnu comme susceptible d’être résolu par deux théorèmes énoncés indépendamment par Jordan et Weierstrass. Cette controverse, suscitée par la rencontre de deux théorèmes que nous considérerions aujourd’hui équivalents, nous permettra de questionner l’identité algébrique de pratiques polynomiales de manipulation de « formes » mises en œuvre sur une période antérieure aux approches structurelles de l’algèbre linéaire qui donneront à ces pratiques l’identité de méthodes de caractérisation des classes de similitudes de matrices. Nous montrerons que les pratiques de réductions canoniques et de calculs d’invariants opposées par Jordan et Kronecker manifestent des identités multiples indissociables d’un contexte social daté et qui dévoilent des savoirs tacites, des modes de pensées locaux mais aussi, au travers de regards portés sur une histoire à long terme impliquant des travaux d’auteurs comme Lagrange, Laplace, Cauchy ou Hermite, deux philosophies internes sur la signification de la généralité indissociables d’idéaux disciplinaires opposant algèbre et arithmétique. En questionnant les identités culturelles de telles pratiques, cet article vise à enrichir l’histoire de l’algèbre linéaire, souvent abordée dans le cadre de problématiques liées à l’émergence de structures et par l’intermédiaire de l’histoire d’une théorie, d’une notion ou d’un mode de raisonnement.},
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References

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  79. [Lagrange 1788] Lagrange ( Joseph-Louis) – Méchanique analytique, Paris : Gauthier-Villars, 1788 ; 2e éd. Paris, 1811–1815. 
  80. [Laplace 1878–1912] Laplace ( Pierre-Simon de) – Œuvres complètes de Laplace, publ. s. l. auspices de l’Académie des sciences, Paris : Gauthier-Villars, 14 vols, 1878–1912. JFM23.0020.04
  81. [Laplace 1775] Laplace ( Pierre-Simon de) – Mémoire sur les solutions particulières des équations différentielles et sur les inégalités séculaires des planètes, Partie I, Mémoires de l’Académie des sciences de Paris, 1775 ; [Laplace 1878–1912, 8, p. 325–366]. 
  82. [Laplace 1787] Laplace ( Pierre-Simon de) – Mémoire sur les inégalités séculaires des planètes et des satellites, Mémoires de l’Académie des sciences de Paris, 1787 ; [Laplace 1878–1912, 8, p. 49–92]. 
  83. [Laplace 1789] Laplace ( Pierre-Simon de) – Mémoire sur les variations séculaires des orbites des planètes, Mémoires de l’Académie des sciences de Paris, 1789 ; [Laplace 1878–1912, 11, p. 295–306]. 
  84. [Laplace 1799] Laplace ( Pierre-Simon de) – Traité de mécanique céleste, vol.1, Paris : Gauthier-Villars, 1799 ; [Laplace 1878–1912, 1]. 
  85. [Laskar 1992] Laskar ( Jacques) – La stabilité du système solaire, dans Dahan Dalmedico (Amy), Chabert (Jean-Luc) & Chemla (Karine), éd., Chaos et déterminisme, Paris : Seuil, 1992, p. 170–212. 
  86. [Lebesgue 1923] Lebesgue ( Henri) – Notices sur la vie et les travaux de Camille Jordan, Mémoires de l’Académie des sciences de Paris, 2e série, 58 (1923), p. xxxix–lxvi ; [Jordan 1961–1964, p. x–xxx]. JFM52.0027.06
  87. [Mac Duffee 1933] Mac Duffee ( Cyrus Colton) – The Theory of Matrices, New York : Chelsea, 1933. 
  88. [Mawhin 1981] Mawhin ( Jean) – Remarks on E.B. Christoffel’s Paper : ,,Uber die kleinen Schwingungen eines periodisch eingerichteten Systems materieller Punkte”, dans Butzer (Paul Leo) & Feher (R. F.), éd., E. B. Christoffel : The Influence of His Work in Mathematics and the Physical Sciences, Basel : Birkhäuser, 1981. Zbl0487.70002MR661113
  89. [Muir 1906] Muir ( Thomas) – The Theory of Determinants in the Historical Order of Development, vol.1, Londres : Macmillan and Co., 1906. JFM42.0168.06
  90. [Netto 1874] Netto ( Eugen) – Zur Theorie der zusammengesetzten Gruppen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 78 (1874), p. 81–92. JFM06.0081.01
  91. [Parshall 1989] Parshall ( Karen Hunger) – Toward a history of nineteenth-century invariant theory, dans Rowe (D.) & McCleary (J.), éd., The History of Modern Mathematics, vol.1, Boston : Academic Press, 1989, p. 157–206. MR1037799
  92. [Parshall 2006] Parshall ( Karen Hunger) – The British development of the theory of invariants (1841–1895), BSHM Bull., 21 (2006), p. 186–199. Zbl1113.01013MR2274074
  93. [Robadey 2006] Robadey ( Anne) – Différentes modalités de travail sur le général dans les recherches de Poincaré sur les systèmes complexes (1870–1930), Thèse, Université Paris 7 - Denis Diderot, 2006. 
  94. [Sauvage 1891] Sauvage ( L.) – Théorie des diviseurs élémentaires et applications, Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), 8 (1891), p. 285–340. Zbl23.0122.01MR1508862JFM23.0122.01
  95. [Schubring 1996] Schubring ( Gert) – Changing cultural and epistemological views on mathematics and different institutional contexts in nineteenth century Europe, dans Goldstein (Catherine), Gray (Jeremy) & Ritter (Jim), éd., [Goldstein et al. 1996 Goldstein, Gray & Ritter, p. 361–388], 1996. Zbl0880.01013MR1770136
  96. [Sinaceur 1991] Sinaceur ( Hourya) – Corps et modèles, Paris : Vrin, 1991. MR1122201
  97. [Smith 1861] Smith ( Henry John Stephen) – On systems of linear indeterminate equations and congruences, Philosophical Transactions, cli (1861), p. 293–326. 
  98. [Somoff 1859] Somoff ( Joseph) – Sur l’équation algébrique à l’aide de laquelle on détermine les oscillations très-petites d’un système de points matériels, Mém. Acad. Sci. St. Pétersbourg, 7 (1859). 
  99. [Sylvester 1852] Sylvester ( James Joseph) – Sur une propriété nouvelle de l’équation qui sert à déterminer les inégalités séculaires des planètes, Nouvelles annales de mathématiques, 1852, p. 438–440. 
  100. [Sturm 1829] Sturm ( Charles) – Extrait d’un mémoire sur l’intégration d’un système d’équations différentielles linéaires, présenté à l’Académie des Sciences le 27 Juillet 1829 par M. Sturm, Bulletin des sciences mathématiques, 12 (1829), p. 313–322. 
  101. [Weierstrass 1894–1927] Weierstrass ( Karl) – Mathematische Werke von Karl Weierstrass, Berlin : Mayer & Müller, 1894–1927. 
  102. [Weierstrass 1858] Weierstrass ( Karl) – Über ein die homogenen Functionen zweiten Grades betreffendes Theorem, Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858, p. 207–220 ; [Weierstrass 1894–1927, 1, p. 233–246]. 
  103. [Weierstrass 1868] Weierstrass ( Karl) – Zur Theorie der quadratischen und bilinearen Formen, Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1868, p. 310–338 ; [Weierstrass 1894–1927, 2, p. 19–43]. JFM01.0054.04
  104. [Weierstrass 1879] Weierstrass ( Karl) – Nachtrag zu der am 4. März 1858 in der Königl. Akademie der Wissenschaften gelesenen Abhandlung : über ein die homogenen Functionen zweiten Grades betreffendes Theorem, Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1879, p. 430–439 ; [Weierstrass 1894–1927, 3, p. 139–148]. JFM11.0270.01
  105. [Weierstrass 1895] Weierstrass ( Karl) – Bemerkungen zur Integration eines Systems linearer Differentialgleichungen mit constanten Coefficienten, 1895 ; [Communiqué à l’académie de Berlin le 18 octobre 1875], [Weierstrass 1894–1927, 3, p. 75–76]. 
  106. [Weyr 1890] Weyr ( Eduard) – Zur Theorie der bilinearen Formen, Monatshefte für Mathematik und Physik, 1 (1890), p. 161–235. JFM22.0141.02
  107. [Yvon-Villarceau 1870] Yvon-Villarceau ( Antoine) – Note sur les conditions des petites oscillations d’un corps solide de figure quelconque et la théorie des équations différentielles linéaires, Comptes rendus de l’Académie des sciences de Paris, 71 (1870), p. 762–766. 
  108. [Zerner 1991] Zerner ( Martin) – Le règne de Joseph Bertrand (1874–1900), dans [Gispert-Chambaz 1991, p. 298–322], 1991. 

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