From one to several variables in complex analysis: plurisubharmonic functions and positivity (1942–1962)

Pierre Lelong

Revue d'histoire des mathématiques (1995)

  • Volume: 1, Issue: 1, page 139-157
  • ISSN: 1262-022X

Abstract

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At the close of the nineteenth century, Henri Poincaré had already been of the opinion that the transition from one to several complex variables would involve no mere generalisation of single-variable analysis. He himself introduced, in ℂ n , techniques drawn from potential theory (subharmonic functions on ℝ 2 n ). However, systematic investigation of an invariant class for complex analytic isomorphisms, i.e. the class of plurisubharmonic functions, was not undertaken until 1942. A further invariant class, that of closed positive currents, was introduced in 1957, as being entailed by the existence theorem for an integration operator on analytic sets with singularities. Keeping to the period 1942–1962, this paper surveys the introduction of such invariant classes of non-holomorphic elements, subject to a branch of complex analysis (and geometry) where positivity is an essential feature.

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Lelong, Pierre. "D’une variable à plusieurs variables en Analyse Complexe : les fonctions plurisousharmoniques et la positivité (1942–1962)." Revue d'histoire des mathématiques 1.1 (1995): 139-157. <http://eudml.org/doc/252111>.

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abstract = {Henri Poincaré, à la fin du XIXe siècle, pensait déjà que le passage d’une à plusieurs variables complexes en analyse ne se réduisait pas à une simple généralisation de l’analyse à une variable. Lui-même a introduit dans $\mathbb \{C\}^n$ des techniques de la théorie du potentiel (fonctions sousharmoniques dans $\mathbb \{R\}^\{2n\}$). Cependant, l’étude systématique d’une classe invariante par les isomorphismes analytiques complexes, celle des fonctions plurisousharmoniques, débute seulement en 1942. Une autre classe invariante, celle des courants positifs fermés, est introduite en 1957 comme une conséquence du théorème d’existence d’un opérateur d’intégration sur les ensembles analytiques complexes avec singularités. En se limitant à la période 1942–1962, on relate ici l’introduction de ces classes invariantes d’éléments non holomorphes, objets d’une analyse (et d’une géométrie) complexe où la positivité joue un rôle essentiel.},
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