On the independence of l in l -adic cohomology over local fields

Weizhe Zheng

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (2009)

  • Volume: 42, Issue: 2, page 291-334
  • ISSN: 0012-9593

Abstract

top
Gabber deduced his theorem of independence of  l of intersection cohomology from a general stability result over finite fields. In this article, we prove an analogue of this general result over local fields. More precisely, we introduce a notion of independence of  l for systems of complexes of l -adic sheaves on schemes of finite type over a local field, equivariant under finite groups. We establish its stability by Grothendieck’s six operations and the nearby cycle functor. Our method leads to a new proof of Gabber’s theorem. We also give a generalization to algebraic stacks.

How to cite

top

Zheng, Weizhe. "Sur l’indépendance de $l$ en cohomologie $l$-adique sur les corps locaux." Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure 42.2 (2009): 291-334. <http://eudml.org/doc/272202>.

@article{Zheng2009,
abstract = {Gabber a déduit son théorème d’indépendance de $l$ de la cohomologie d’intersection d’un résultat général de stabilité sur les corps finis. Dans cet article, nous démontrons un analogue sur les corps locaux de ce résultat général. Plus précisément, nous introduisons une notion d’indépendance de $l$ pour les systèmes de complexes de faisceaux $l$-adiques sur les schémas de type fini sur un corps local équivariants sous des groupes finis et nous établissons sa stabilité par les six opérations de Grothendieck et le foncteur des cycles proches. Notre méthode permet d’obtenir une nouvelle démonstration du théorème de Gabber. Nous donnons aussi une généralisation aux champs algébriques.},
author = {Zheng, Weizhe},
journal = {Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure},
keywords = {independence of $l$; $l$-adic cohomology; Galois alteration; algebraic stack},
language = {fre},
number = {2},
pages = {291-334},
publisher = {Société mathématique de France},
title = {Sur l’indépendance de $l$ en cohomologie $l$-adique sur les corps locaux},
url = {http://eudml.org/doc/272202},
volume = {42},
year = {2009},
}

TY - JOUR
AU - Zheng, Weizhe
TI - Sur l’indépendance de $l$ en cohomologie $l$-adique sur les corps locaux
JO - Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
PY - 2009
PB - Société mathématique de France
VL - 42
IS - 2
SP - 291
EP - 334
AB - Gabber a déduit son théorème d’indépendance de $l$ de la cohomologie d’intersection d’un résultat général de stabilité sur les corps finis. Dans cet article, nous démontrons un analogue sur les corps locaux de ce résultat général. Plus précisément, nous introduisons une notion d’indépendance de $l$ pour les systèmes de complexes de faisceaux $l$-adiques sur les schémas de type fini sur un corps local équivariants sous des groupes finis et nous établissons sa stabilité par les six opérations de Grothendieck et le foncteur des cycles proches. Notre méthode permet d’obtenir une nouvelle démonstration du théorème de Gabber. Nous donnons aussi une généralisation aux champs algébriques.
LA - fre
KW - independence of $l$; $l$-adic cohomology; Galois alteration; algebraic stack
UR - http://eudml.org/doc/272202
ER -

References

top
  1. [1] Groupes de monodromie en géométrie algébrique (SGA 7), Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie 1967–1969, Lecture Notes in Math. 288, 340, Springer, 1972–1973. Zbl0258.00005
  2. [2] Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4), Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie 1963–1964, Lecture Notes in Math. 269, 270, 305, Springer, 1972–1973. Zbl0234.00007
  3. [3] Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie 1960–1961, Documents Mathématiques (Paris) 3, Soc. Math. France, 2003. Zbl1039.14001
  4. [4] A. A. Beĭlinson, J. Bernstein & P. Deligne, Faisceaux pervers, in Analyse et topologie sur les espaces singuliers, I (Luminy, 1981), Astérisque 100, Soc. Math. France, 1982, 5–171. Zbl0536.14011MR751966
  5. [5] S. Bosch, W. Lütkebohmert & M. Raynaud, Néron models, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 21, Springer, 1990. Zbl0705.14001
  6. [6] B. Conrad, Deligne’s notes on Nagata compactifications, preprint, 1997. Zbl1142.14001MR2356346
  7. [7] P. Deligne, Les constantes des équations fonctionnelles des fonctions L , in Modular functions of one variable, II (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, Antwerp, 1972), Lecture Notes in Math. 349, Springer, 1973, 501–597. Zbl0271.14011MR349635
  8. [8] P. Deligne, Cohomologie étale(SGA 4 1 2 ), Lecture Notes in Math. 569, Springer, 1977. Zbl0349.14008MR463174
  9. [9] P. Deligne, La conjecture de Weil. II, Publ. Math. I.H.É.S. 52 (1980), 137–252. Zbl0456.14014MR601520
  10. [10] P. Deligne & G. Lusztig, Representations of reductive groups over finite fields, Ann. of Math.103 (1976), 103–161. Zbl0336.20029MR393266
  11. [11] T. Ekedahl, On the adic formalism, in The Grothendieck Festschrift, Vol. II, Progr. Math. 87, Birkhäuser, 1990, 197–218. Zbl0821.14010MR1106899
  12. [12] K. Fujiwara, Independence of l for intersection cohomology (after Gabber), in Algebraic geometry 2000, Azumino, Adv. Stud. Pure Math. 36, Math. Soc. Japan, 2002, 145–151. Zbl1057.14029MR1971515
  13. [13] A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Publ. Math. I.H.É.S. 20, 24, 28, 32 (1964–1967). Zbl0136.15901MR219538
  14. [14] L. Illusie, Miscellany on traces in ℓ -adic cohomology : a survey, Jpn. J. Math.1 (2006), 107–136. Zbl1156.14309MR2261063
  15. [15] A. J. de Jong, Smoothness, semi-stability and alterations, Publ. Math. I.H.É.S. 83 (1996), 51–93. Zbl0916.14005MR1423020
  16. [16] A. J. de Jong, Families of curves and alterations, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 47 (1997), 599–621. Zbl0868.14012MR1450427
  17. [17] N. M. Katz, Wild ramification and some problems of“independence of l ”,Amer. J. Math.105 (1983), 201–227. Zbl0568.14012MR692111
  18. [18] Y. Laszlo & M. Olsson, The six operations for sheaves on Artin stacks II : adic coefficients, Publ. Math. I.H.É.S. 107 (2008), 169–210. Zbl1191.14003MR2434693
  19. [19] Y. Laszlo & M. Olsson, Perverse t -structure on Artin stacks, Math. Z.261 (2009), 737–748. Zbl1188.14002MR2480756
  20. [20] G. Laumon, Transformation de Fourier, constantes d’équations fonctionnelles et conjecture de Weil, Publ. Math. I.H.É.S. 65 (1987), 131–210. Zbl0641.14009MR908218
  21. [21] G. Laumon, Transformation de Fourier homogène, Bull. Soc. Math. France131 (2003), 527–551. Zbl1088.11044MR2044494
  22. [22] G. Laumon & L. Moret-Bailly, Champs algébriques, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 39, Springer, 2000. Zbl0945.14005MR1771927
  23. [23] Y. Mieda, On l -independence for the étale cohomology of rigid spaces over local fields, Compos. Math.143 (2007), 393–422. Zbl1132.14016MR2309992
  24. [24] S. Morel, Complexes pondérés sur les compactifications de Baily-Borel : le cas des variétés de Siegel, J. Amer. Math. Soc.21 (2008), 63–100. Zbl1225.11073MR2350050
  25. [25] T. Ochiai, l -independence of the trace of monodromy, Math. Ann.315 (1999), 321–340. Zbl0980.14014MR1715253
  26. [26] T. Saito, Weight spectral sequences and independence of l , J. Inst. Math. Jussieu2 (2003), 583–634. Zbl1084.14027MR2006800
  27. [27] J-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis, 5e éd., Hermann, 1998. Zbl0926.20003
  28. [28] I. Vidal, Théorie de Brauer et conducteur de Swan, J. Algebraic Geom.13 (2004), 349–391. Zbl1070.14020MR2047703
  29. [29] W. Zheng, Sur la cohomologie des faisceaux l -adiques entiers sur les corps locaux, Bull. Soc. Math. France136 (2008), 465–503. Zbl1216.14016MR2415350

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.