Fontaine’s theory in equal characteristics

Alain Genestier; Vincent Lafforgue

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (2011)

  • Volume: 44, Issue: 2, page 263-360
  • ISSN: 0012-9593

Abstract

top
Local shtukas are analogs in equal characteristics of p -divisible groups: for example one can associate to them a Tate module, which is a free module over the ring of integers of a local field K of positive characteristic. We associate to a local shtuka a Hodge structure (or more precisely a Hodge-Pink structure) which gives rise to a period morphism analogous to the one constructed by Rapoport and Zink. For Hodge-Pink structures defined over a finite extension of K we prove an analog of the “ weakly admissible implies admissible ” theorem of Colmez and Fontaine. We also develop an integral theory. The proofs are elementary and do not use an algebraic closure of K . The arguments used in the integral theory are very close to those used in the rational theory.

How to cite

top

Genestier, Alain, and Lafforgue, Vincent. "Théorie de Fontaine en égales caractéristiques." Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure 44.2 (2011): 263-360. <http://eudml.org/doc/272236>.

@article{Genestier2011,
abstract = {Les chtoucas locaux sont des analogues en égales caractéristiques des groupes $p$-divisibles — par exemple on leur associe un module de Tate, qui est un module libre sur l’anneau d’entiers d’un corps local $K$ de caractéristique positive. Nous associons à un chtouca local une structure de Hodge (ou, plus précisément, une structure de Hodge-Pink), ce qui induit un morphisme de périodes analogue à celui construit par Rapoport et Zink. Pour les structures de Hodge-Pink définies sur une extension finie de $K$ nous démontrons un analogue du théorème « faiblement admissible implique admissible » de Colmez et Fontaine. Nous développons aussi une théorie entière. Les démonstrations sont élémentaires et ne font pas intervenir de clôture algébrique de $K$. Les arguments utilisés dans la théorie entière sont très proches de ceux qui interviennent dans la théorie rationnelle.},
author = {Genestier, Alain, Lafforgue, Vincent},
journal = {Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure},
keywords = {Fontaine’s theory; Shtukas; crystals},
language = {fre},
number = {2},
pages = {263-360},
publisher = {Société mathématique de France},
title = {Théorie de Fontaine en égales caractéristiques},
url = {http://eudml.org/doc/272236},
volume = {44},
year = {2011},
}

TY - JOUR
AU - Genestier, Alain
AU - Lafforgue, Vincent
TI - Théorie de Fontaine en égales caractéristiques
JO - Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
PY - 2011
PB - Société mathématique de France
VL - 44
IS - 2
SP - 263
EP - 360
AB - Les chtoucas locaux sont des analogues en égales caractéristiques des groupes $p$-divisibles — par exemple on leur associe un module de Tate, qui est un module libre sur l’anneau d’entiers d’un corps local $K$ de caractéristique positive. Nous associons à un chtouca local une structure de Hodge (ou, plus précisément, une structure de Hodge-Pink), ce qui induit un morphisme de périodes analogue à celui construit par Rapoport et Zink. Pour les structures de Hodge-Pink définies sur une extension finie de $K$ nous démontrons un analogue du théorème « faiblement admissible implique admissible » de Colmez et Fontaine. Nous développons aussi une théorie entière. Les démonstrations sont élémentaires et ne font pas intervenir de clôture algébrique de $K$. Les arguments utilisés dans la théorie entière sont très proches de ceux qui interviennent dans la théorie rationnelle.
LA - fre
KW - Fontaine’s theory; Shtukas; crystals
UR - http://eudml.org/doc/272236
ER -

References

top
  1. [1] V. Abrashkin, Galois modules arising from Faltings’s strict modules, Compos. Math.142 (2006), 867–888. Zbl1102.14032MR2249533
  2. [2] G. Anderson, Drinfeld motives, cours donné à Princeton du 27 octobre au 8 décembre 1987. 
  3. [3] L. Berger, Équations différentielles p -adiques et ( φ , N ) -modules filtrés, Astérisque319 (2008), 13–38. Zbl1168.11019MR2493215
  4. [4] P. Berthelot, Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p g t ; 0 , Lect. Notes in Math. 407 (1974). Zbl0298.14012
  5. [5] P. Berthelot, Cohomologie rigide et cohomologie rigide à supports propre, preprint 96-03 de l’université de Rennes, http://perso.univ-rennes1.fr/pierre.berthelot/publis/Cohomologie_Rigide_I.pdf, 1996. 
  6. [6] P. Berthelot, L. Breen & W. Messing, Théorie de Dieudonné cristalline. II, Lect. Notes in Math. 930 (1982). Zbl0516.14015
  7. [7] P. Berthelot & W. Messing, Théorie de Dieudonné cristalline. I, in Journées de Géométrie Algébrique de Rennes (Rennes, 1978), Vol. I, Astérisque 63, Soc. Math. France, 1979, 17–37. Zbl0414.14014MR563458
  8. [8] P. Berthelot & W. Messing, Théorie de Dieudonné cristalline. III. Théorèmes d’équivalence et de pleine fidélité, in The Grothendieck Festschrift, Vol. I, Progr. Math. 86, Birkhäuser, 1990, 173–247. Zbl0753.14041MR1086886
  9. [9] P. Berthelot & A. Ogus, Notes on crystalline cohomology, Princeton Univ. Press, 1978. Zbl0383.14010MR491705
  10. [10] S. Bosch, U. Güntzer & R. Remmert, Non-Archimedean analysis, Grund. Math. Wiss. 261, Springer, 1984. Zbl0539.14017MR746961
  11. [11] N. Bourbaki, Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9, Masson, 1983. MR722608
  12. [12] C. Breuil, Schémas en groupes et corps des normes, preprint http://www.ihes.fr/~breuil/PUBLICATIONS/groupesnormes.pdf, 1998. 
  13. [13] C. Breuil, Une application de corps des normes, Compositio Math.117 (1999), 189–203. Zbl0933.11055MR1695849
  14. [14] C. Breuil, Integral p -adic Hodge theory, in Algebraic geometry 2000, Azumino (Hotaka), Adv. Stud. Pure Math. 36, Math. Soc. Japan, 2002, 51–80. Zbl1046.11085MR1971512
  15. [15] X. Caruso, Représentations semi-stables de torsion dans le case e r l t ; p - 1 , J. reine angew. Math. 594 (2006), 35–92. Zbl1134.14013MR2248152
  16. [16] P. Colmez & J.-M. Fontaine, Construction des représentations p -adiques semi-stables, Invent. Math.140 (2000), 1–43. Zbl1010.14004MR1779803
  17. [17] V. G. Drinfelʼd, Coverings of p -adic symmetric domains, Funkcional. Anal. i Priložen. 10 (1976), 29–40 ; traduction : Funct. Anal. Appl. 10 (1976), 107–115. Zbl0346.14010MR422290
  18. [18] V. G. Drinfelʼd, Cohomology of compactified moduli varieties of F -sheaves of rank 2 , Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), 107–158 ; traduction : J. Soviet Math. 46 (1989), 1789–1821. Zbl0672.14008MR918745
  19. [19] V. G. Drinfelʼd, Moduli varieties of F -sheaves, Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), 23–41 ; traduction : Funct. Anal. Appl. 21 (1987), 107–122. Zbl0665.12013MR902291
  20. [20] G. Faltings, Integral crystalline cohomology over very ramified valuation rings, J. Amer. Math. Soc.12 (1999), 117–144. Zbl0914.14009MR1618483
  21. [21] G. Faltings, Group schemes with strict 𝒪 -action, Mosc. Math. J.2 (2002), 249–279. Zbl1013.11079MR1944507
  22. [22] J.-M. Fontaine, Groupes p -divisibles sur les corps locaux, Astérisque 47–48 (1977). Zbl0377.14009MR498610
  23. [23] J.-M. Fontaine, Représentations p -adiques des corps locaux. I, in The Grothendieck Festschrift, Vol. II, Progr. Math. 87, Birkhäuser, 1990, 249–309. Zbl0743.11066MR1106901
  24. [24] J.-M. Fontaine & G. Laffaille, Construction de représentations p -adiques, Ann. Sci. École Norm. Sup.15 (1982), 547–608. Zbl0579.14037MR707328
  25. [25] F. Gardeyn, The structure of analytic τ -sheaves, J. Number Theory100 (2003), 332–362. Zbl1045.11040MR1978461
  26. [26] A. Genestier, Espaces symétriques de Drinfeld, Astérisque 234 (1996). Zbl0912.14015
  27. [27] A. Grothendieck, Crystals and the de Rham cohomology of schemes, in Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, North-Holland, 1968, 306–358. Zbl0215.37102MR269663
  28. [28] A. Grothendieck, Groupes de Barsotti-Tate et cristaux, in Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 1, Gauthier-Villars, 1971, 431–436. Zbl0244.14016MR578496
  29. [29] U. Hartl, On period spaces for p -divisible groups, C. R. Math. Acad. Sci. Paris346 (2008), 1123–1128. Zbl1161.14032MR2464250
  30. [30] U. Hartl, A dictionary between Fontaine-theory and its analogue in equal characteristic, J. Number Theory129 (2009), 1734–1757. Zbl1186.11071MR2524192
  31. [31] U. Hartl, Period spaces in equal characteristic, preprint arXiv :math/0511686, to appear in Annals of Math.. 
  32. [32] U. Hartl & R. Pink, Vector bundles with a Frobenius structure on the punctured unit disc, Compos. Math.140 (2004), 689–716. Zbl1074.14028MR2041777
  33. [33] M. J. Hopkins & B. H. Gross, Equivariant vector bundles on the Lubin-Tate moduli space, in Topology and representation theory (Evanston, IL, 1992), Contemp. Math. 158, Amer. Math. Soc., 1994, 23–88. Zbl0807.14037MR1263712
  34. [34] L. Illusie, Déformations de groupes de Barsotti-Tate (d’après A. Grothendieck), Astérisque127 (1985), 151–198. Zbl1182.14050MR801922
  35. [35] M. Kapranov & É. Vasserot, Formal loops. II. A local Riemann-Roch theorem for determinantal gerbes, Ann. Sci. École Norm. Sup. 40 (2007), 113–133. Zbl1129.14022MR2332353
  36. [36] N. M. Katz, Slope filtration of F -crystals, in Journées de Géométrie Algébrique de Rennes (Rennes, 1978), Vol. I, Astérisque 63, Soc. Math. France, 1979, 113–163. Zbl0426.14007MR563463
  37. [37] N. M. Katz, Serre-Tate local moduli, Lect. Notes in Math.868 (1981), 138–202. Zbl0477.14007MR638600
  38. [38] K. S. Kedlaya, Slope filtrations revisited, Doc. Math.10 (2005), 447–525. Zbl1081.14028MR2184462
  39. [39] M. Kisin, Crystalline representations and F -crystals, in Algebraic geometry and number theory, Progr. Math. 253, Birkhäuser, 2006, 459–496. Zbl1184.11052MR2263197
  40. [40] M. Kisin, Moduli of finite flat group schemes, and modularity, Ann. of Math.170 (2009), 1085–1180. Zbl1201.14034MR2600871
  41. [41] G. Laffaille, Groupes p -divisibles et modules filtrés : le cas peu ramifié, Bull. Soc. Math. France108 (1980), 187–206. Zbl0453.14021MR606088
  42. [42] L. Lafforgue, Une compactification des champs classifiant les chtoucas de Drinfeld, J. Amer. Math. Soc.11 (1998), 1001–1036. Zbl1045.11041MR1609893
  43. [43] L. Lafforgue, Cours à l’Institut Tata sur les chtoucas de Drinfeld et la correspondance de Langlands, preprint IHÉS M/02/45 http://www.ihes.fr/~lafforgue/math/M02-45.pdf. 
  44. [44] S. G. Langton, Valuative criteria for families of vector bundles on algebraic varieties, Ann. of Math.101 (1975), 88–110. Zbl0307.14007MR364255
  45. [45] T. Liu, On lattices in semi-stable representations : a proof of a conjecture of Breuil, Compos. Math.144 (2008), 61–88. Zbl1133.14020MR2388556
  46. [46] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge Studies in Advanced Math. 8, Cambridge Univ. Press, 1986. Zbl0603.13001MR879273
  47. [47] B. Mazur & W. Messing, Universal extensions and one dimensional crystalline cohomology, Lect. Notes in Math. 370 (1974). Zbl0301.14016MR374150
  48. [48] W. Messing, The crystals associated to Barsotti-Tate groups, Lect. Notes in Math. 264 (1972). Zbl0243.14013
  49. [49] R. Pink, Hodge structures over function fields, preprint http://www.math.ethz.ch/~pink/ftp/HS.pdf, 1997. 
  50. [50] R. Pink, Uniformisierung von t -Motiven, exposé du 12 juillet 2000. 
  51. [51] M. Rapoport & T. Zink, Period spaces for p -divisible groups, Annals of Math. Studies 141, Princeton Univ. Press, 1996. Zbl0873.14039MR1393439
  52. [52] M. Rapoport & T. Zink, A finiteness theorem in the Bruhat-Tits building : an application of Landvogt’s embedding theorem, Indag. Math. (N.S.) 10 (1999), 449–458. Zbl1029.20016MR1819901
  53. [53] J-P. Serre, Corps locaux, 2e éd., Publications de l’Université de Nancago VIII, Hermann, 1968. Zbl0137.02601MR354618
  54. [54] J-P. Serre, Classes des corps cyclotomiques (d’après K. Iwasawa), Sém. Bourbaki 1958/59, exp. no 174, réédition Soc. Math. France 5 (1995), 83–93. Zbl0119.27603MR1603459
  55. [55] T. Zink, Windows for displays of p -divisible groups, in Moduli of abelian varieties (Texel Island, 1999), Progr. Math. 195, Birkhäuser, 2001, 491–518. Zbl1099.14036MR1827031

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.