Analytic continuation of a class of zeta functions of heights

D. Essouabri

Bulletin de la Société Mathématique de France (2005)

  • Volume: 133, Issue: 2, page 297-329
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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In the first part of this paper, we prove that a large class of zeta functions associated to the projective space ℙ n ( ℚ ) , ( n ≥ 1 ) , have meromorphic continuations to thewhole complex plane ℂ satisfying suitable properties and give some arithmetical consequences. In the second part, we prove that the height zeta functions associated to metrized line bundles on the projective plan blown up at a point, have meromorphic continuations to thewhole complex plane ℂ with moderate growth and give a set of candidate poles. As an application, we give a new proof of Manin’s conjecture in this case, we calculate thesecond term and improve its error term.

How to cite

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Essouabri, D.. "Prolongements analytiques d’une classe de fonctions zêta des hauteurs et applications." Bulletin de la Société Mathématique de France 133.2 (2005): 297-329. <http://eudml.org/doc/272329>.

@article{Essouabri2005,
abstract = {Nous montrons dans la première partie l’existence d’un prolongement méromorphe à tout le plan complexe$\mathbb \{C\}$ et explicitons les propriétés et quelques conséquences, d’une large classe de séries zêta des hauteurs associées à l’espace projectif $\mathbb \{P\}_n (\mathbb \{Q\})$$(n\ge 1)$. Nous montrons dans la deuxième partie que, dans le cas du plan projectif éclaté en un point sur $\mathbb \{Q\}$, les fonctions zêta de hauteur associées aux fibrés en droite dont les classes sont à l’intérieur du cône des diviseurs effectifs possèdent des prolongements méromorphes àtout le plan complexe$\mathbb \{C\}$. Comme conséquence, ce résultat permet de redémontrer la conjecture de Manin dans ce cas mais avec un meilleur terme d’erreur que ceux connus. Il permet surtout de déterminer, lesecond termeen $\log B$ apparaissant dans la conjecture de Manin.},
author = {Essouabri, D.},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
keywords = {height zeta function; rational points; line bundle; counting function; meromorphic continuation; Manin’s conjecture},
language = {fre},
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pages = {297-329},
publisher = {Société mathématique de France},
title = {Prolongements analytiques d’une classe de fonctions zêta des hauteurs et applications},
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volume = {133},
year = {2005},
}

TY - JOUR
AU - Essouabri, D.
TI - Prolongements analytiques d’une classe de fonctions zêta des hauteurs et applications
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2005
PB - Société mathématique de France
VL - 133
IS - 2
SP - 297
EP - 329
AB - Nous montrons dans la première partie l’existence d’un prolongement méromorphe à tout le plan complexe$\mathbb {C}$ et explicitons les propriétés et quelques conséquences, d’une large classe de séries zêta des hauteurs associées à l’espace projectif $\mathbb {P}_n (\mathbb {Q})$$(n\ge 1)$. Nous montrons dans la deuxième partie que, dans le cas du plan projectif éclaté en un point sur $\mathbb {Q}$, les fonctions zêta de hauteur associées aux fibrés en droite dont les classes sont à l’intérieur du cône des diviseurs effectifs possèdent des prolongements méromorphes àtout le plan complexe$\mathbb {C}$. Comme conséquence, ce résultat permet de redémontrer la conjecture de Manin dans ce cas mais avec un meilleur terme d’erreur que ceux connus. Il permet surtout de déterminer, lesecond termeen $\log B$ apparaissant dans la conjecture de Manin.
LA - fre
KW - height zeta function; rational points; line bundle; counting function; meromorphic continuation; Manin’s conjecture
UR - http://eudml.org/doc/272329
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