Theta height and Faltings height

Fabien Pazuki

Bulletin de la Société Mathématique de France (2012)

  • Volume: 140, Issue: 1, page 19-49
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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Using original ideas from J.-B. Bost and S. David, we provide an explicit comparison between the Theta height and the stable Faltings height of a principally polarized Abelian variety. We also give as an application an explicit upper bound on the number of K -rational points of a curve of genus g ≥ 2 under a conjecture of S. Lang and J. Silverman. We complete the study with a comparison between differential lattice structures.

How to cite

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Pazuki, Fabien. "Theta height and Faltings height." Bulletin de la Société Mathématique de France 140.1 (2012): 19-49. <http://eudml.org/doc/272534>.

@article{Pazuki2012,
abstract = {Using original ideas from J.-B. Bost and S. David, we provide an explicit comparison between the Theta height and the stable Faltings height of a principally polarized Abelian variety. We also give as an application an explicit upper bound on the number of $K$-rational points of a curve of genus $g\ge 2$ under a conjecture of S. Lang and J. Silverman. We complete the study with a comparison between differential lattice structures.},
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TY - JOUR
AU - Pazuki, Fabien
TI - Theta height and Faltings height
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2012
PB - Société mathématique de France
VL - 140
IS - 1
SP - 19
EP - 49
AB - Using original ideas from J.-B. Bost and S. David, we provide an explicit comparison between the Theta height and the stable Faltings height of a principally polarized Abelian variety. We also give as an application an explicit upper bound on the number of $K$-rational points of a curve of genus $g\ge 2$ under a conjecture of S. Lang and J. Silverman. We complete the study with a comparison between differential lattice structures.
LA - eng
KW - heights; abelian varieties; rational points
UR - http://eudml.org/doc/272534
ER -

References

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  1. [1] C. Birkenhake & H. Lange – Complex abelian varieties, second éd., Grundl. Math. Wiss., vol. 302, Springer, 2004. Zbl1056.14063MR2062673
  2. [2] J.-B. Bost – « Arakelov geometry of Abelian varieties », Max-Planck Institut für Math. Technical Reports 96-51 (1996). MR2238837
  3. [3] —, « Intrinsic heights of stable varieties and abelian varieties », Duke Math. J.82 (1996), p. 21–70. Zbl0867.14010MR1387221
  4. [4] —, « Périodes et isogenies des variétés abéliennes sur les corps de nombres (d’après D. Masser et G. Wüstholz) », Astérisque 237 (1996), p. 115–161, Séminaire Bourbaki, vol. 1994/95, exposé no 795. Zbl0936.11042
  5. [5] J.-B. Bost & S. David – « Notes on the comparison of heights of Abelian varieties », letter to D. Masser and G. Wüstholz, 1995. 
  6. [6] L. Breen – Fonctions thêta et théorème du cube, Lecture Notes in Math., vol. 980, Springer, 1983. Zbl0558.14029MR823233
  7. [7] S. David – « Fonctions thêta et points de torsion des variétés abéliennes », Compositio Math.78 (1991), p. 121–160. Zbl0741.14025MR1104784
  8. [8] —, « Minorations de hauteurs sur les variétés abéliennes », Bull. Soc. Math. France121 (1993), p. 509–544. Zbl0803.11031MR1254751
  9. [9] S. David & P. Philippon – « Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés de variétés abeliennes. II », Comment. Math. Helv.77 (2002), p. 639–700. Zbl1030.11026MR1949109
  10. [10] P. Deligne – « Preuve des conjectures de Tate et de Shafarevitch (d’après G. Faltings) », Astérisque 121-122 (1985), p. 25–41, Séminaire Bourbaki, vol. 1983/84, exposé no 616. Zbl0591.14026MR768952
  11. [11] T. de Diego – « Points rationnels sur les familles de courbes de genre au moins 2 », J. Number Theory67 (1997), p. 85–114. Zbl0896.11025MR1485428
  12. [12] G. Faltings – « Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern », Invent. Math.73 (1983), p. 349–366. Zbl0588.14026MR718935
  13. [13] G. Faltings & C.-L. Chai – Degeneration of abelian varieties, Ergebn. Math. Grenzg., vol. 22, Springer, 1990. Zbl0744.14031MR1083353
  14. [14] P. Graftieaux – « Formal groups and the isogeny theorem », Duke Math. J.106 (2001), p. 81–121. Zbl1064.14045MR1810367
  15. [15] R. Hartshorne – Algebraic geometry, Graduate Texts in Math., vol. 52, Springer, 1977. Zbl0367.14001MR463157
  16. [16] J.-i. Igusa – Theta functions, Die Grund. Math. Wiss., vol. 194, Springer, 1972. Zbl0251.14016MR325625
  17. [17] D. W. Masser – « Small values of heights on families of abelian varieties », in Diophantine approximation and transcendence theory (Bonn, 1985), Lecture Notes in Math., vol. 1290, Springer, 1987, p. 109–148. Zbl0639.14025MR927559
  18. [18] D. W. Masser & G. Wüstholz – « Periods and minimal abelian subvarieties », Ann. of Math.137 (1993), p. 407–458. Zbl0796.11023MR1207211
  19. [19] L. Moret-Bailly – « Compactifications, hauteurs et finitude », Astérisque127 (1985), p. 113–129. Zbl1182.14048MR801920
  20. [20] —, « Pinceaux de variétés abéliennes », Astérisque 129 (1985). Zbl0595.14032
  21. [21] —, « Sur l’équation fonctionnelle de la fonction thêta de Riemann », Compositio Math.75 (1990), p. 203–217. Zbl0728.14039MR1065206
  22. [22] D. Mumford – « On the equations defining abelian varieties. I », Invent. Math.1 (1966), p. 287–354. Zbl0219.14024MR204427
  23. [23] —, « On the equations defining abelian varieties. II », Invent. Math.3 (1967), p. 75–135. Zbl0219.14024MR219541
  24. [24] F. Pazuki – « Minoration de la hauteur de Néron-Tate sur les variétés abéliennes : sur la conjecture de Lang et Silverman », thèse de doctorat, Université de Bordeaux 1, 2008. 
  25. [25] —, « Remarques sur une conjecture de Lang », J. Théor. Nombres Bordeaux22 (2010), p. 161–179. Zbl1268.11089MR2675878
  26. [26] M. Raynaud – « Hauteurs et isogénies », Astérisque127 (1985), p. 199–234. Zbl1182.14049MR801923
  27. [27] G. Rémond – « Hauteurs thêta et construction de Kodaira », J. Number Theory78 (1999), p. 287–311. Zbl0947.14016MR1713465
  28. [28] —, « Décompte dans une conjecture de Lang », Invent. Math.142 (2000), p. 513–545. Zbl0972.11054MR1804159
  29. [29] G. Shimura – « On the derivatives of theta functions and modular forms », Duke Math. J.44 (1977), p. 365–387. Zbl0371.14023MR466028
  30. [30] J. H. Silverman – « Lower bounds for height functions », Duke Math. J.51 (1984), p. 395–403. Zbl0579.14035MR747871
  31. [31] —, The arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Math., vol. 106, Springer, 1992. Zbl0585.14026MR1329092
  32. [32] L. Szpiro – « Séminaire sur les pinceaux arithmétiques : la conjecture de Mordell », Astérisque 127 (1985). Zbl0588.14028

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