Singularities at infinity and motivic integration

Michel Raibaut

Bulletin de la Société Mathématique de France (2012)

  • Volume: 140, Issue: 1, page 51-100
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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Let k be a field of characteristic zero and f be a non constant function defined on a smooth variety. We construct in this article amotivic Milnor fiber at infinitywhich belongs to a Grothendieck ring of varieties. It is defined in terms of a chosen compactification, not necessary smooth, but is shown to be independent of this choice. When k is the field of complex numbers, using the Hodge realization morphism, it specializes to the spectrum at infinity of f . As an example, we compute it in the case of a Laurent polynomial non-degenerated with respect to its Newton polyhedron at infinity. For each value a , we define a complete motivic Milnor fiber S f , a . This object is an extension of the usual motivic Milnor fiber S f - a . Then we introducemotivic atypical values, a motivic bifurcation setof f and a notion ofmotivically tame function.

How to cite

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Raibaut, Michel. "Singularités à l’infini et intégration motivique." Bulletin de la Société Mathématique de France 140.1 (2012): 51-100. <http://eudml.org/doc/272635>.

@article{Raibaut2012,
abstract = {Soit $k$ un corps de caractéristique nulle et $f$ une fonction non constante définie sur une variété lisse. Nous définissons dans cet article unefibre de Milnor motivique à l’infiniqui appartient à un anneau de Grothendieck des variétés. Elle est définie en termes d’une compactification choisie, non nécessairement lisse, mais est indépendante de ce choix. Lorsque $k$ est le corps des nombres complexes, en utilisant le morphisme de réalisation de Hodge, elle se réalise en le spectre à l’infini de $f$. Nous la calculons par exemple, dans le cas d’un polynôme non dégénéré pour son polyèdre de Newton à l’infini. Pour toute valeur $a$, nous définissons unefibre de Milnor motivique complète$S_\{f,a\}$ qui prolonge la fibre de Milnor motivique usuelle $S_\{f-a\}$. Ceci permet d’introduire desvaleurs motiviquement atypiques, un ensemble de bifurcation motiviquede $f$ et une notion defonction motiviquement modérée.},
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