Géométrie systolique et technique de régularisation

Guillaume Bulteau[1]

  • [1] Institut de Mathématiques et de Modélisation de Montpellier (I3M) UMR 5149 CNRS - Université Montpellier 2 Case courrier 051 34095 Montpellier cedex 5 (France)

Séminaire de théorie spectrale et géométrie (2012-2014)

  • Volume: 31, page 1-41
  • ISSN: 1624-5458

Abstract

top
L’objectif de ce texte est de présenter la notion de systole d’une variété riemannienne et de faire un survol de la géométrie systolique. On illustrera aussi une technique fondamentale, appelée technique de régularisation, qui est à la base de plusieurs résultats essentiels de géométrie systolique. Je détaillerai comment cette technique permet d’estimer les nombres de Betti d’une variété asphérique (d’après Gromov), et comment elle permet de relier l’entropie volumique à la systole et au volume systolique d’une variété riemannienne (d’après Sabourau).

How to cite

top

Bulteau, Guillaume. "Géométrie systolique et technique de régularisation." Séminaire de théorie spectrale et géométrie 31 (2012-2014): 1-41. <http://eudml.org/doc/275748>.

@article{Bulteau2012-2014,
abstract = {L’objectif de ce texte est de présenter la notion de systole d’une variété riemannienne et de faire un survol de la géométrie systolique. On illustrera aussi une technique fondamentale, appelée technique de régularisation, qui est à la base de plusieurs résultats essentiels de géométrie systolique. Je détaillerai comment cette technique permet d’estimer les nombres de Betti d’une variété asphérique (d’après Gromov), et comment elle permet de relier l’entropie volumique à la systole et au volume systolique d’une variété riemannienne (d’après Sabourau).},
affiliation = {Institut de Mathématiques et de Modélisation de Montpellier (I3M) UMR 5149 CNRS - Université Montpellier 2 Case courrier 051 34095 Montpellier cedex 5 (France)},
author = {Bulteau, Guillaume},
journal = {Séminaire de théorie spectrale et géométrie},
keywords = {Cycles géométriques; systole; volume systolique; espace d’Eilenberg-McLane; variété asphérique; nombres de Betti},
language = {fre},
pages = {1-41},
publisher = {Institut Fourier},
title = {Géométrie systolique et technique de régularisation},
url = {http://eudml.org/doc/275748},
volume = {31},
year = {2012-2014},
}

TY - JOUR
AU - Bulteau, Guillaume
TI - Géométrie systolique et technique de régularisation
JO - Séminaire de théorie spectrale et géométrie
PY - 2012-2014
PB - Institut Fourier
VL - 31
SP - 1
EP - 41
AB - L’objectif de ce texte est de présenter la notion de systole d’une variété riemannienne et de faire un survol de la géométrie systolique. On illustrera aussi une technique fondamentale, appelée technique de régularisation, qui est à la base de plusieurs résultats essentiels de géométrie systolique. Je détaillerai comment cette technique permet d’estimer les nombres de Betti d’une variété asphérique (d’après Gromov), et comment elle permet de relier l’entropie volumique à la systole et au volume systolique d’une variété riemannienne (d’après Sabourau).
LA - fre
KW - Cycles géométriques; systole; volume systolique; espace d’Eilenberg-McLane; variété asphérique; nombres de Betti
UR - http://eudml.org/doc/275748
ER -

References

top
  1. J. C. Álvarez Paiva, F. Balacheff, Contact geometry and isosystolic inequalities, Geom. Funct. Anal. 24 (2014), 648-669 Zbl1292.53050MR3192037
  2. Ivan K. Babenko, Asymptotic invariants of smooth manifolds, Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat. 56 (1992), 707-751 Zbl0812.57022MR1208148
  3. Ivan K. Babenko, Topologie des systoles unidimensionnelles, Enseign. Math. (2) 52 (2006), 109-142 Zbl1236.53037MR2255530
  4. Ivan K. Babenko, Florent Balacheff, Systolic volume of homology classes, (2010) Zbl1318.53036
  5. Ivan K. Babenko, Florent Balacheff, Guillaume Bulteau, Systolic geometry and simplicial complexity for groups, (2015) Zbl1318.53036
  6. Florent Balacheff, Hugo Parlier, Stéphane Sabourau, Short loop decompositions of surfaces and the geometry of Jacobians, Geom. Funct. Anal. 22 (2012), 37-73 Zbl1254.30057MR2899682
  7. C. Bavard, Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein, Math. Ann. 274 (1986), 439-441 Zbl0578.53032MR842624
  8. Marcel Berger, À l’ombre de Loewner, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 5 (1972), 241-260 Zbl0237.53035MR309009
  9. Marcel Berger, Du côté de chez Pu, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 5 (1972), 1-44 Zbl0227.52005MR309008
  10. Marcel Berger, Une borne inférieure pour le volume d’une variété riemannienne en fonction du rayon d’injectivité, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 30 (1980), 259-265 Zbl0421.53028MR597027
  11. Marcel Berger, Systoles et applications selon Gromov, Astérisque (1993), Exp. No. 771, 5, 279-310 Zbl0789.53040MR1246401
  12. Marcel Berger, A panoramic view of Riemannian geometry, (2003), Springer-Verlag, Berlin Zbl1038.53002MR2002701
  13. G. Besson, G. Courtois, S. Gallot, Volume et entropie minimale des espaces localement symétriques, Invent. Math. 103 (1991), 417-445 Zbl0723.53029MR1085114
  14. Michael Brunnbauer, Homological invariance for asymptotic invariants and systolic inequalities, Geom. Funct. Anal. 18 (2008), 1087-1117 Zbl1160.53021MR2465685
  15. Guillaume Bulteau, Cycles géométriques réguliers Zbl06559192
  16. Dmitri Burago, Yuri Burago, Sergei Ivanov, A course in metric geometry, 33 (2001), American Mathematical Society, Providence, RI Zbl1232.53037MR1835418
  17. Yu. D. Burago, V. A. Zalgaller, Geometric inequalities, 285 (1988), Springer-Verlag, Berlin Zbl0633.53002MR936419
  18. P. Buser, P. Sarnak, On the period matrix of a Riemann surface of large genus, Invent. Math. 117 (1994), 27-56 Zbl0814.14033MR1269424
  19. Christopher B. Croke, Some isoperimetric inequalities and eigenvalue estimates, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 13 (1980), 419-435 Zbl0465.53032MR608287
  20. Christopher B. Croke, Mikhail Katz, Universal volume bounds in Riemannian manifolds, Surveys in differential geometry, Vol. VIII (Boston, MA, 2002) 8 (2003), 109-137, Int. Press, Somerville, MA Zbl1051.53026MR2039987
  21. James Dugundji, Topology, (1966), Allyn and Bacon, Inc., Boston, Mass. Zbl0397.54003MR193606
  22. Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine, Riemannian geometry, (1990), Springer-Verlag, Berlin Zbl1068.53001MR1083149
  23. Mikhael Gromov, Structures métriques pour les variétés riemanniennes, 1 (1981), CEDIC, Paris MR682063
  24. Mikhael Gromov, Volume and bounded cohomology, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1982), 5-99 (1983) Zbl0516.53046MR686042
  25. Mikhael Gromov, Filling Riemannian manifolds, J. Differential Geom. 18 (1983), 1-147 Zbl0515.53037MR697984
  26. Mikhael Gromov, Systoles and intersystolic inequalities, Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) 1 (1996), 291-362, Soc. Math. France, Paris Zbl0877.53002MR1427763
  27. Mikhael Gromov, Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, 152 (1999), Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA Zbl0953.53002MR1699320
  28. Larry Guth, Notes on Gromov’s systolic estimate, Geom. Dedicata 123 (2006), 113-129 Zbl1125.53028MR2299729
  29. Larry Guth, Metaphors in systolic geometry, Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Volume II (2010), 745-768, Hindustan Book Agency, New Delhi Zbl1247.53044MR2827817
  30. Allen Hatcher, Algebraic topology, (2002), Cambridge University Press, Cambridge Zbl1044.55001MR1867354
  31. James J. Hebda, Some lower bounds for the area of surfaces, Invent. Math. 65 (1981/82), 485-490 Zbl0482.53028MR643566
  32. A. Katok, Entropy and closed geodesics, Ergodic Theory Dynam. Systems 2 (1982), 339-365 (1983) Zbl0525.58027MR721728
  33. Anatole Katok, Boris Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, 54 (1995), Cambridge University Press, Cambridge Zbl0878.58020MR1326374
  34. Karin Usadi Katz, Mikhail G. Katz, Stéphane Sabourau, Steven Shnider, Shmuel Weinberger, Relative systoles of relative-essential 2-complexes, Algebr. Geom. Topol. 11 (2011), 197-217 Zbl1228.53056MR2764040
  35. Mikhail G. Katz, Systolic geometry and topology, 137 (2007), American Mathematical Society, Providence, RI Zbl1149.53003MR2292367
  36. Mikhail G. Katz, Stéphane Sabourau, Entropy of systolically extremal surfaces and asymptotic bounds, Ergodic Theory Dynam. Systems 25 (2005), 1209-1220 Zbl1097.53027MR2158402
  37. Shigeru Kodani, On two-dimensional isosystolic inequalities, Kodai Math. J. 10 (1987), 314-327 Zbl0642.53042MR929991
  38. Anthony Manning, Topological entropy for geodesic flows, Ann. of Math. (2) 110 (1979), 567-573 Zbl0426.58016MR554385
  39. P. M. Pu, Some inequalities in certain nonorientable Riemannian manifolds, Pacific J. Math. 2 (1952), 55-71 Zbl0046.39902MR48886
  40. Guillemette Reviron, Rigidité topologique sous l’hypothèse “entropie majorée” et applications, Comment. Math. Helv. 83 (2008), 815-846 Zbl1153.53027MR2442964
  41. Yuli B. Rudyak, Stéphane Sabourau, Systolic invariants of groups and 2-complexes via Grushko decomposition, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 58 (2008), 777-800 Zbl1142.53035MR2427510
  42. Stéphane Sabourau, Systolic volume and minimal entropy of aspherical manifolds, J. Differential Geom. 74 (2006), 155-176 Zbl1112.53030MR2260931
  43. Takashi Sakai, A proof of the isosystolic inequality for the Klein bottle, Proc. Amer. Math. Soc. 104 (1988), 589-590 Zbl0692.53019MR962833

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.