Hypercomplex Numbers and Matrix Algebras

Jindřich Bečvář; Vlastimil Dlab

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie (2024)

  • Volume: 69, Issue: 2, page 97-120
  • ISSN: 0032-2423

Abstract

top
V článku jsou ukázány tři procesy, kterými z tělesa reálných čísel vznikají algebry komplexních, dvojných, resp. duálních čísel, což jsou jediné neizomorfní algebry dimenze 2, které mají jednotkový prvek. Stejnými procesy vznikají z tělesa komplexních čísel algebry kvaternionů, antikvaternionů, resp. semikvaternionů, a stejnými procesy vznikají z kvaternionů algebry oktáv, antioktáv, resp. semioktáv. Následně je pozornost věnována reprezentacím komplexních, dvojných a duálních čísel, kvaternionů, antikvaternionů a semikvaternionů v reálných, resp. komplexních maticových algebrách. Článek zakončuje obsáhlá historická poznámka.

How to cite

top

Bečvář, Jindřich, and Dlab, Vlastimil. "Hyperkomplexní čísla a maticové algebry." Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 69.2 (2024): 97-120. <http://eudml.org/doc/299286>.

@article{Bečvář2024,
abstract = {V článku jsou ukázány tři procesy, kterými z tělesa reálných čísel vznikají algebry komplexních, dvojných, resp. duálních čísel, což jsou jediné neizomorfní algebry dimenze 2, které mají jednotkový prvek. Stejnými procesy vznikají z tělesa komplexních čísel algebry kvaternionů, antikvaternionů, resp. semikvaternionů, a stejnými procesy vznikají z kvaternionů algebry oktáv, antioktáv, resp. semioktáv. Následně je pozornost věnována reprezentacím komplexních, dvojných a duálních čísel, kvaternionů, antikvaternionů a semikvaternionů v reálných, resp. komplexních maticových algebrách. Článek zakončuje obsáhlá historická poznámka.},
author = {Bečvář, Jindřich, Dlab, Vlastimil},
journal = {Pokroky matematiky, fyziky a astronomie},
language = {cze},
number = {2},
pages = {97-120},
publisher = {Jednota českých matematiků a fyziků},
title = {Hyperkomplexní čísla a maticové algebry},
url = {http://eudml.org/doc/299286},
volume = {69},
year = {2024},
}

TY - JOUR
AU - Bečvář, Jindřich
AU - Dlab, Vlastimil
TI - Hyperkomplexní čísla a maticové algebry
JO - Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
PY - 2024
PB - Jednota českých matematiků a fyziků
VL - 69
IS - 2
SP - 97
EP - 120
AB - V článku jsou ukázány tři procesy, kterými z tělesa reálných čísel vznikají algebry komplexních, dvojných, resp. duálních čísel, což jsou jediné neizomorfní algebry dimenze 2, které mají jednotkový prvek. Stejnými procesy vznikají z tělesa komplexních čísel algebry kvaternionů, antikvaternionů, resp. semikvaternionů, a stejnými procesy vznikají z kvaternionů algebry oktáv, antioktáv, resp. semioktáv. Následně je pozornost věnována reprezentacím komplexních, dvojných a duálních čísel, kvaternionů, antikvaternionů a semikvaternionů v reálných, resp. komplexních maticových algebrách. Článek zakončuje obsáhlá historická poznámka.
LA - cze
UR - http://eudml.org/doc/299286
ER -

References

top
  1. Albert, A. A., Structure of algebras, . American Mathematical Society, Colloquium Publications, Vol. 24, New York, 1939. (1939) MR0000595
  2. Bečvář, J., Normované algebry a součty čtverců, . In: Fuchs, E. a kol.: Světonázorové problémy matematiky IV, SPN, Praha, 1987, 17–30. (1987) 
  3. Bečvář, J., 150 let od objevu kvaternionů, . Pokroky Mat. Fyz. Astronom. 38 (1993), 305–317. (1993) MR1280448
  4. Bečvář, J., Lineární algebra, . MatfyzPress, Praha, 2000. (2000) 
  5. Bečvář, J., Z historie lineární algebry, . Edice Dějiny matematiky, sv. 35, MatfyzPress, Praha, 2007. (2007) 
  6. Bruck, R. H., Kleinfeld, E., 10.1090/S0002-9939-1951-0045099-9, . Proc. Amer. Math. Soc. 2 (1951), 878–890. (1951) MR0045099DOI10.1090/S0002-9939-1951-0045099-9
  7. Cartan, É., Les groupes bilinéaires et les systèmes de nombres complexes, . Annales de la Faculté des sciences de Toulouse pour les sciences mathématiques et les sciences physiques, Serie 1, 12 (1898), 1–99. (1898) MR1508194
  8. Cartan, É., Study, E., Nombres complexes, . Encyclopédie des science mathématiques pures et appliquées I. I. 3, Paris, 1908, 329–488. (1908) MR1547668
  9. Cayley, A., The theory of groups, , Amer. J. Math. 1 (1878), 50–52. (1878) MR1505151
  10. Curtis, C. W., The four and eight square problem and division algebras, . In: Albert, A. A. (ed.): Studies in modern algebra, MAA Studies in Mathematics, Vol. 2, The Mathematical Association of America, Prentice-Hall, Inc., 1963, 100–125. (1963) MR0146228
  11. Curtis, C. W., Linear algebra. An introductory approach, . Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo, 1974, 1984. (1974) MR0746791
  12. Degen, C. F., Adumbratio demonstrationis theorematis arithmetici maxime universalis, . Mémoires de L’Académie Impériale des sciences de St. Pétersbourg VIII, 1817–1818 (1822), 207–219. (1822) 
  13. Dickson, L. E., 10.2307/1967865, . Annals of Math. 20 (1918–1919), 155–171, 297. (1918) MR1502549DOI10.2307/1967865
  14. Dickson, L. E., History of theory of numbers I, . Carnegie Institution of Washington, Washington, 1919. (1919) 
  15. Dickson, L. E., History of theory of numbers II, . Carnegie Institution of Washington, Washington, 1920. (1920) 
  16. Dickson, L. E., History of theory of numbers III, . Carnegie Institution of Washington, Washington, 1923. (1923) 
  17. Dlab, V., Důkladné porozumění elementární matematice, . Učitel matematiky 17 (2008/2009), č. 3, 169–182. (2008) 
  18. Dlab, V., Důkladné porozumění pojmu ekvivalence, . Učitel matematiky 19 (2010/2011), č. 1, 9–13. (2010) 
  19. Dlab, V., Bečvář, J., Od aritmetiky k abstraktní algebře, . Serifa, Praha, 2016. (2016) 
  20. Doležálek, M., Kvaterniony a důkaz Lagrangeovy věty o čtyřech čtvercích, . Pokroky Mat. Fyz. Astronom. 64 (2019), 145–160. (2019) 
  21. Ebbinghaus, H.-D., Zahlen, . Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1983. (1983) 
  22. Euler, L., Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum sive integrum sive fractum esse summam quatuor pauciorumve quadratorum, . Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 5 (1754/1755), 13–58. (1754) 
  23. Euler, L., Novae demonstrationes circa resolutionem numerorum in quadrata, . Nova acta eruditorum (1773), 193–211. (1773) 
  24. Freudenthal, H., Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie, . Mathematisch Instituut der Rijksuniversiteit Utrecht, Utrecht, 1951. (1951) MR0044533
  25. Frobenius, F. G., Über lineare Substitutionen und bilineare Formen, . J. Reine Angew. Math. 84 (1878), 1–63. (1878) MR1581640
  26. Fuss, P. H., Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIe siècle I, . Pétersbourg, 1843. (1843) MR0225627
  27. Gauss, K. F., Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda, . Göttingen gelehrte Anzeigen, 1831, Werke II, Königliche Gesellschaft der Wissenschaften, Göttingen, 1876, 169–178. (1831) 
  28. Gauss, K. F., Nachlass. Fortsetzung der Untersuchungen. Über das arithmetisch geometrische Mittel, . Werke III, Königliche Gesellschaft der Wissenschaften, Göttingen, 1876, 375–403. (1876) 
  29. Gauss, K. F., Mutationen des Raumes, . Werke VIII, Königliche Gesellschaft der Wissenschaften, Göttingen, 1900, 357–362. (1900) 
  30. Grissemann, F. X., 10.1007/BF01832514, . Monatsh. Math. Phys. 11 (1900), 132–147. (1900) MR1546742DOI10.1007/BF01832514
  31. Hankel, H., Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen, I. Theorie der complexen Zahlensysteme insbesondere der gemeinen imaginären Zahlen und der Hamilton’schen Quaternionen nebst ihrer geometrischen Darstellung, . L. Voss, Leipzig, 1867. (1867) 
  32. Hopf, H., 10.1007/BF01378062, . Comment. Math. Helv. 13 (1940), 219–239. (1940) MR0004785DOI10.1007/BF01378062
  33. Hurwitz, A., Über die Zahlentheorie der Quaternionen, . Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1896, 313–340. (1896) 
  34. Hurwitz, A., Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen, . Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 1898, 309–316. (1898) 
  35. Hurwitz, A., Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen, . Springer, Berlin, 1919. (1919) 
  36. Jacobi, C. G. J., Note sur la décomposition d’un nombre donné en quatre carrés, . J. Reine Angew. Math. 3 (1828), 191. (1828) MR1577687
  37. Jacobi, C. G. J., Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, . Sumtibus fratrum Borntraeger, Regiomonti, 1829. (1829) 
  38. Jacobi, C. G. J., De compositione numerorum e quatuor quadratis, . J. Reine Angew. Math. 12 (1834), 167–172. (1834) MR1578010
  39. Jacobson, N., 10.1007/BF02854388, . Rend. Circ. Mat. Palermo, Ser. 11, 7 (1958), 55–80. (1958) MR0101253DOI10.1007/BF02854388
  40. Jafari, M., Molaei, H., Some properties of matrix algebra of semi-quaternions, . Science Journal (CSJ) 36 (2015), No. 5, 103–112. (2015) 
  41. Kalinovsky, Y. O., Lande, D. V., Boyarinova, Y. E., Turenko, A. S., Clifford type algebra characteristics investigation 
  42. Kantor, I. L., Solodovnikov, A. S., Giperkopleksnye čisla, . Nauka, Moskva, 1973. (1973) 
  43. Kervaire, M., 10.1073/pnas.44.3.280, . Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 44 (1958), 280–283. (1958) MR3075371DOI10.1073/pnas.44.3.280
  44. Kuroš, A. G., Kapitoly z obecné algebry, . Academia, Praha, 1968. (1968) MR0224404
  45. Lagrange, I. L., Démonstration d’un théorème d’arithmétique, . Nouveaux Mémoires de l’Académie des Sciences et Belles Lettres (Berlin) (1770), 123–133. (1770) 
  46. Legendre, A. M., Essai sur la théorie des nombres, . Paris, 1797–1798. (1797) MR2859036
  47. Liping, Ma, Knowing and teaching elementary mathematics: Teacher’s understanding of fundamental mathematics in China and the United States, . Routledge, 2010. (2010) 
  48. May, K. O., 10.2307/2315349, . Amer. Math. Monthly 73 (1966), 289–291. (1966) MR1533695DOI10.2307/2315349
  49. Milnor, J., 10.2307/1970255, . Ann. of Math. 68 (1958), 444–449. (1958) MR0102805DOI10.2307/1970255
  50. Milnor, J., Bott, R., 10.1090/S0002-9904-1958-10166-4, . Bull. Amer. Math. Soc. 64 (1958), 87–89. (1958) MR0102804DOI10.1090/S0002-9904-1958-10166-4
  51. Palais, R. S., 10.2307/2313414, . Amer. Math. Monthly 75 (1968), 366–368. (1968) MR0228539DOI10.2307/2313414
  52. Pall, G., 10.1080/00029890.1933.11987387, . Amer. Math. Monthly 40 (1933), 10–18. (1933) MR1522677DOI10.1080/00029890.1933.11987387
  53. Peirce, B., Linear associative algebra, . Amer. J. Math. 4 (1881), 97–221. (1881) MR1505290
  54. Peirce, C. S., On the algebras in which division is always possible, . Amer. J. Math. 4 (1881), 225–229. (1881) 
  55. Provazníková, M., Algebry s dělením: jejich historie a aplikace, . Disertační práce. Přírodovědecká fakulta MU, Brno, 2010. (2010) 
  56. Skornjakov, L. A., Alternativnye tela, . Ukraïn. Mat. Zh. 2 (1950), 70–85. (1950) 
  57. Study, E., Theorie der gemeinen und höheren complexen Grössen, . Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, I. Arithmetik und Algebra, 1. Teil, Leipzig, Teubner, 1898–1904, 147–183. (1898) 
  58. Taussky, O., 10.1080/00029890.1970.11992594, . Amer. Math. Monthly 77 (1970), 805–830. (1970) MR0268121DOI10.1080/00029890.1970.11992594
  59. van der Waerden, B. L., A History of Algebra. From al-Khwarizmi to Emmy Noether, . Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985. (1985) MR0803326
  60. Weierstrass, K. T., Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grössen, . Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der GeorgAugustsUniversität zu Göttingen, 1884, 395–414. (1884) 
  61. Weil, A., Euler. An elementary proof for sums of squares, . Amer. Math. Monthly 91 (1984), 537–542. (1984) MR0764792

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.