Hypercomplex Numbers and Matrix Algebras
Jindřich Bečvář; Vlastimil Dlab
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie (2024)
- Volume: 69, Issue: 2, page 97-120
- ISSN: 0032-2423
Access Full Article
topAbstract
topHow to cite
topBečvář, Jindřich, and Dlab, Vlastimil. "Hyperkomplexní čísla a maticové algebry." Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 69.2 (2024): 97-120. <http://eudml.org/doc/299286>.
@article{Bečvář2024,
abstract = {V článku jsou ukázány tři procesy, kterými z tělesa reálných čísel vznikají algebry komplexních, dvojných, resp. duálních čísel, což jsou jediné neizomorfní algebry dimenze 2, které mají jednotkový prvek. Stejnými procesy vznikají z tělesa komplexních čísel algebry kvaternionů, antikvaternionů, resp. semikvaternionů, a stejnými procesy vznikají z kvaternionů algebry oktáv, antioktáv, resp. semioktáv. Následně je pozornost věnována reprezentacím komplexních, dvojných a duálních čísel, kvaternionů, antikvaternionů a semikvaternionů v reálných, resp. komplexních maticových algebrách. Článek zakončuje obsáhlá historická poznámka.},
author = {Bečvář, Jindřich, Dlab, Vlastimil},
journal = {Pokroky matematiky, fyziky a astronomie},
language = {cze},
number = {2},
pages = {97-120},
publisher = {Jednota českých matematiků a fyziků},
title = {Hyperkomplexní čísla a maticové algebry},
url = {http://eudml.org/doc/299286},
volume = {69},
year = {2024},
}
TY - JOUR
AU - Bečvář, Jindřich
AU - Dlab, Vlastimil
TI - Hyperkomplexní čísla a maticové algebry
JO - Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
PY - 2024
PB - Jednota českých matematiků a fyziků
VL - 69
IS - 2
SP - 97
EP - 120
AB - V článku jsou ukázány tři procesy, kterými z tělesa reálných čísel vznikají algebry komplexních, dvojných, resp. duálních čísel, což jsou jediné neizomorfní algebry dimenze 2, které mají jednotkový prvek. Stejnými procesy vznikají z tělesa komplexních čísel algebry kvaternionů, antikvaternionů, resp. semikvaternionů, a stejnými procesy vznikají z kvaternionů algebry oktáv, antioktáv, resp. semioktáv. Následně je pozornost věnována reprezentacím komplexních, dvojných a duálních čísel, kvaternionů, antikvaternionů a semikvaternionů v reálných, resp. komplexních maticových algebrách. Článek zakončuje obsáhlá historická poznámka.
LA - cze
UR - http://eudml.org/doc/299286
ER -
References
top- Albert, A. A., Structure of algebras, . American Mathematical Society, Colloquium Publications, Vol. 24, New York, 1939. (1939) MR0000595
- Bečvář, J., Normované algebry a součty čtverců, . In: Fuchs, E. a kol.: Světonázorové problémy matematiky IV, SPN, Praha, 1987, 17–30. (1987)
- Bečvář, J., 150 let od objevu kvaternionů, . Pokroky Mat. Fyz. Astronom. 38 (1993), 305–317. (1993) MR1280448
- Bečvář, J., Lineární algebra, . MatfyzPress, Praha, 2000. (2000)
- Bečvář, J., Z historie lineární algebry, . Edice Dějiny matematiky, sv. 35, MatfyzPress, Praha, 2007. (2007)
- Bruck, R. H., Kleinfeld, E., 10.1090/S0002-9939-1951-0045099-9, . Proc. Amer. Math. Soc. 2 (1951), 878–890. (1951) MR0045099DOI10.1090/S0002-9939-1951-0045099-9
- Cartan, É., Les groupes bilinéaires et les systèmes de nombres complexes, . Annales de la Faculté des sciences de Toulouse pour les sciences mathématiques et les sciences physiques, Serie 1, 12 (1898), 1–99. (1898) MR1508194
- Cartan, É., Study, E., Nombres complexes, . Encyclopédie des science mathématiques pures et appliquées I. I. 3, Paris, 1908, 329–488. (1908) MR1547668
- Cayley, A., The theory of groups, , Amer. J. Math. 1 (1878), 50–52. (1878) MR1505151
- Curtis, C. W., The four and eight square problem and division algebras, . In: Albert, A. A. (ed.): Studies in modern algebra, MAA Studies in Mathematics, Vol. 2, The Mathematical Association of America, Prentice-Hall, Inc., 1963, 100–125. (1963) MR0146228
- Curtis, C. W., Linear algebra. An introductory approach, . Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo, 1974, 1984. (1974) MR0746791
- Degen, C. F., Adumbratio demonstrationis theorematis arithmetici maxime universalis, . Mémoires de L’Académie Impériale des sciences de St. Pétersbourg VIII, 1817–1818 (1822), 207–219. (1822)
- Dickson, L. E., 10.2307/1967865, . Annals of Math. 20 (1918–1919), 155–171, 297. (1918) MR1502549DOI10.2307/1967865
- Dickson, L. E., History of theory of numbers I, . Carnegie Institution of Washington, Washington, 1919. (1919)
- Dickson, L. E., History of theory of numbers II, . Carnegie Institution of Washington, Washington, 1920. (1920)
- Dickson, L. E., History of theory of numbers III, . Carnegie Institution of Washington, Washington, 1923. (1923)
- Dlab, V., Důkladné porozumění elementární matematice, . Učitel matematiky 17 (2008/2009), č. 3, 169–182. (2008)
- Dlab, V., Důkladné porozumění pojmu ekvivalence, . Učitel matematiky 19 (2010/2011), č. 1, 9–13. (2010)
- Dlab, V., Bečvář, J., Od aritmetiky k abstraktní algebře, . Serifa, Praha, 2016. (2016)
- Doležálek, M., Kvaterniony a důkaz Lagrangeovy věty o čtyřech čtvercích, . Pokroky Mat. Fyz. Astronom. 64 (2019), 145–160. (2019)
- Ebbinghaus, H.-D., Zahlen, . Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1983. (1983)
- Euler, L., Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum sive integrum sive fractum esse summam quatuor pauciorumve quadratorum, . Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 5 (1754/1755), 13–58. (1754)
- Euler, L., Novae demonstrationes circa resolutionem numerorum in quadrata, . Nova acta eruditorum (1773), 193–211. (1773)
- Freudenthal, H., Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie, . Mathematisch Instituut der Rijksuniversiteit Utrecht, Utrecht, 1951. (1951) MR0044533
- Frobenius, F. G., Über lineare Substitutionen und bilineare Formen, . J. Reine Angew. Math. 84 (1878), 1–63. (1878) MR1581640
- Fuss, P. H., Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIe siècle I, . Pétersbourg, 1843. (1843) MR0225627
- Gauss, K. F., Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda, . Göttingen gelehrte Anzeigen, 1831, Werke II, Königliche Gesellschaft der Wissenschaften, Göttingen, 1876, 169–178. (1831)
- Gauss, K. F., Nachlass. Fortsetzung der Untersuchungen. Über das arithmetisch geometrische Mittel, . Werke III, Königliche Gesellschaft der Wissenschaften, Göttingen, 1876, 375–403. (1876)
- Gauss, K. F., Mutationen des Raumes, . Werke VIII, Königliche Gesellschaft der Wissenschaften, Göttingen, 1900, 357–362. (1900)
- Grissemann, F. X., 10.1007/BF01832514, . Monatsh. Math. Phys. 11 (1900), 132–147. (1900) MR1546742DOI10.1007/BF01832514
- Hankel, H., Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen, I. Theorie der complexen Zahlensysteme insbesondere der gemeinen imaginären Zahlen und der Hamilton’schen Quaternionen nebst ihrer geometrischen Darstellung, . L. Voss, Leipzig, 1867. (1867)
- Hopf, H., 10.1007/BF01378062, . Comment. Math. Helv. 13 (1940), 219–239. (1940) MR0004785DOI10.1007/BF01378062
- Hurwitz, A., Über die Zahlentheorie der Quaternionen, . Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1896, 313–340. (1896)
- Hurwitz, A., Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen, . Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 1898, 309–316. (1898)
- Hurwitz, A., Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen, . Springer, Berlin, 1919. (1919)
- Jacobi, C. G. J., Note sur la décomposition d’un nombre donné en quatre carrés, . J. Reine Angew. Math. 3 (1828), 191. (1828) MR1577687
- Jacobi, C. G. J., Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, . Sumtibus fratrum Borntraeger, Regiomonti, 1829. (1829)
- Jacobi, C. G. J., De compositione numerorum e quatuor quadratis, . J. Reine Angew. Math. 12 (1834), 167–172. (1834) MR1578010
- Jacobson, N., 10.1007/BF02854388, . Rend. Circ. Mat. Palermo, Ser. 11, 7 (1958), 55–80. (1958) MR0101253DOI10.1007/BF02854388
- Jafari, M., Molaei, H., Some properties of matrix algebra of semi-quaternions, . Science Journal (CSJ) 36 (2015), No. 5, 103–112. (2015)
- Kalinovsky, Y. O., Lande, D. V., Boyarinova, Y. E., Turenko, A. S., Clifford type algebra characteristics investigation
- Kantor, I. L., Solodovnikov, A. S., Giperkopleksnye čisla, . Nauka, Moskva, 1973. (1973)
- Kervaire, M., 10.1073/pnas.44.3.280, . Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 44 (1958), 280–283. (1958) MR3075371DOI10.1073/pnas.44.3.280
- Kuroš, A. G., Kapitoly z obecné algebry, . Academia, Praha, 1968. (1968) MR0224404
- Lagrange, I. L., Démonstration d’un théorème d’arithmétique, . Nouveaux Mémoires de l’Académie des Sciences et Belles Lettres (Berlin) (1770), 123–133. (1770)
- Legendre, A. M., Essai sur la théorie des nombres, . Paris, 1797–1798. (1797) MR2859036
- Liping, Ma, Knowing and teaching elementary mathematics: Teacher’s understanding of fundamental mathematics in China and the United States, . Routledge, 2010. (2010)
- May, K. O., 10.2307/2315349, . Amer. Math. Monthly 73 (1966), 289–291. (1966) MR1533695DOI10.2307/2315349
- Milnor, J., 10.2307/1970255, . Ann. of Math. 68 (1958), 444–449. (1958) MR0102805DOI10.2307/1970255
- Milnor, J., Bott, R., 10.1090/S0002-9904-1958-10166-4, . Bull. Amer. Math. Soc. 64 (1958), 87–89. (1958) MR0102804DOI10.1090/S0002-9904-1958-10166-4
- Palais, R. S., 10.2307/2313414, . Amer. Math. Monthly 75 (1968), 366–368. (1968) MR0228539DOI10.2307/2313414
- Pall, G., 10.1080/00029890.1933.11987387, . Amer. Math. Monthly 40 (1933), 10–18. (1933) MR1522677DOI10.1080/00029890.1933.11987387
- Peirce, B., Linear associative algebra, . Amer. J. Math. 4 (1881), 97–221. (1881) MR1505290
- Peirce, C. S., On the algebras in which division is always possible, . Amer. J. Math. 4 (1881), 225–229. (1881)
- Provazníková, M., Algebry s dělením: jejich historie a aplikace, . Disertační práce. Přírodovědecká fakulta MU, Brno, 2010. (2010)
- Skornjakov, L. A., Alternativnye tela, . Ukraïn. Mat. Zh. 2 (1950), 70–85. (1950)
- Study, E., Theorie der gemeinen und höheren complexen Grössen, . Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, I. Arithmetik und Algebra, 1. Teil, Leipzig, Teubner, 1898–1904, 147–183. (1898)
- Taussky, O., 10.1080/00029890.1970.11992594, . Amer. Math. Monthly 77 (1970), 805–830. (1970) MR0268121DOI10.1080/00029890.1970.11992594
- van der Waerden, B. L., A History of Algebra. From al-Khwarizmi to Emmy Noether, . Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985. (1985) MR0803326
- Weierstrass, K. T., Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grössen, . Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der GeorgAugustsUniversität zu Göttingen, 1884, 395–414. (1884)
- Weil, A., Euler. An elementary proof for sums of squares, . Amer. Math. Monthly 91 (1984), 537–542. (1984) MR0764792
NotesEmbed ?
topTo embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.