Essais de géométrie riemannienne hyperbolique globale. Applications à la relativité générale

Avez, André. "Essais de géométrie riemannienne hyperbolique globale. Applications à la relativité générale." Annales de l'institut Fourier 13.2 (1963): 105-190. <http://eudml.org/doc/73804>.

@article{Avez1963,
abstract = {On se propose d’étudier les variétés d’Einstein compactes en signature hyperbolique normale et plus particulièrement la validité du principe de Mach. Une première méthode consiste à elliptiser certains problèmes en associant à une métrique hyperbolique normale une métrique elliptique. On montre ainsi qu’un espace-temps compact et stationnaire est localement euclidien s’il est extérieur, à constante cosmologique positive s’il est feuilleté par des sections d’espace compactes et schématise un fluide parfait. Un contre-exemple montre que l’hypothèse sur le feuilletage est essentielle.Après avoir établi un théorème du type Hopf-Rinow, la technique de Myers montre que les variétés complètes à métrique hyperbolique normale, et à courbure de Ricci bornée inférieurement par un nombre positif, ont leurs géodésiques temporelles de longueur bornée et leurs lacets temporels homotopes à zéro.On montre l’existence sur une variété périodique close d’une section d’espace compacte, de classe $C^2$, et d’aire maximum. Cela permet de démontrer que si un espace-temps périodique clos est extérieur, il est localement euclidien ; s’il schématise un fluide parfait sa constante cosmologique est positive.La dernière partie tente l’extension de la théorie de Hodge-de-Rham en signature quelconque. On est conduit à discerner deux types de décomposition : ou bien l’espace $F$ des $p$-formes est la somme directe $\{\bf S\}$ de l’espace des $p$-formes homologues à zéro, de celui des $p$-formes cohomologues à zéro, et de celui des $p$-formes fermées et cofermées, ou bien $\{\bf S\}$ est dense dans $F$ au sens de la convergence faible. Ces notions permettent la généralisation de différents résultats classiques en signature elliptique.},
author = {Avez, André},
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TY - JOUR
AU - Avez, André
TI - Essais de géométrie riemannienne hyperbolique globale. Applications à la relativité générale
JO - Annales de l'institut Fourier
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PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 13
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EP - 190
AB - On se propose d’étudier les variétés d’Einstein compactes en signature hyperbolique normale et plus particulièrement la validité du principe de Mach. Une première méthode consiste à elliptiser certains problèmes en associant à une métrique hyperbolique normale une métrique elliptique. On montre ainsi qu’un espace-temps compact et stationnaire est localement euclidien s’il est extérieur, à constante cosmologique positive s’il est feuilleté par des sections d’espace compactes et schématise un fluide parfait. Un contre-exemple montre que l’hypothèse sur le feuilletage est essentielle.Après avoir établi un théorème du type Hopf-Rinow, la technique de Myers montre que les variétés complètes à métrique hyperbolique normale, et à courbure de Ricci bornée inférieurement par un nombre positif, ont leurs géodésiques temporelles de longueur bornée et leurs lacets temporels homotopes à zéro.On montre l’existence sur une variété périodique close d’une section d’espace compacte, de classe $C^2$, et d’aire maximum. Cela permet de démontrer que si un espace-temps périodique clos est extérieur, il est localement euclidien ; s’il schématise un fluide parfait sa constante cosmologique est positive.La dernière partie tente l’extension de la théorie de Hodge-de-Rham en signature quelconque. On est conduit à discerner deux types de décomposition : ou bien l’espace $F$ des $p$-formes est la somme directe ${\bf S}$ de l’espace des $p$-formes homologues à zéro, de celui des $p$-formes cohomologues à zéro, et de celui des $p$-formes fermées et cofermées, ou bien ${\bf S}$ est dense dans $F$ au sens de la convergence faible. Ces notions permettent la généralisation de différents résultats classiques en signature elliptique.
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KW - differential geometry
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