Troisième théorème fondamental de réalisation de Cartan

Ngô van Quê; A.A.M. Rodrigues

Annales de l'institut Fourier (1975)

  • Volume: 25, Issue: 1, page 251-280
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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In a same way as in the theory of Lie groups, one can associate to any Infinitesimal Lie Pseudogroup θ over R n a Lie algebra L ( θ ) , which is a closed sub-Lie algebra of the algebra D of all formal vector fields on R n , the algebra D possessing the topology defined by the natural filtration of the algebra of formal power series. The third theorem of Cartan states that inversely given any closed and transitive Lie sub-algebra L of D , there is an Infinitesimal Lie Pseudogroup θ over R n s.t. its associated Lie algebra is isomorphic to L . In this work we reformulate the main arguments of Cartan proving this theorem in the actual development state of the theory of Lie Pseudogroups. We prove also the following result: let θ be an analytic and transitive infinitesimal Pseudogroup over R n . Then for any closed Lie sub-algebra H of L ( θ ) , whose normalisator in L ( θ ) is a filtred transitive algebra, there is an infinitesimal Lie sub-pseudogroup θ 0 of θ s.t. its associated Lie algebra is isomorphic to H .

How to cite

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Quê, Ngô van, and Rodrigues, A.A.M.. "Troisième théorème fondamental de réalisation de Cartan." Annales de l'institut Fourier 25.1 (1975): 251-280. <http://eudml.org/doc/74214>.

@article{Quê1975,
abstract = {De même qu’avec les groupes de Lie, à tout pseudo-groupe infinitésimal de Lie $\theta $ sur $R^n$ il est associé de façon naturelle une algèbre de Lie $L(\theta )$, qui est une sous-algèbre de Lie fermée de l’algèbre de Lie $D$ de tous les champs de vecteurs formels de $R^n$, l’algèbre $D$ étant munie de la topologie définie par la filtration naturelle de l’algèbre des séries formelles. Le troisième théorème fondamental de Cartan dit qu’inversement étant donnée une sous-algèbre de Lie transitive fermée $L$ de l’algèbre $D$, il existe un pseudo-groupe infinitésimal de Lie $\theta $ sur $R^n$ tel que son algèbre de Lie associée soit isomorphe à $L$. On précise dans ce travail les principaux arguments de Cartan, utilisés pour la démonstration de ce théorème, dans le cadre actuel du développement de la théorie des pseudo-groupes de Lie. On y démontre aussi les théorèmes dits de réalisation relative et homogène dont le résultat peut se résumer ainsi : si $\theta $ est un pseudo-groupe de Lie analytique et transitif sur $R^n$, alors pour toute sous-algèbre fermée $H$ de $L(\theta )$ telle que son normalisateur dans $L(\theta )$ soit une algèbre de Lie filtrée transitive, il existe un sous-pseudo-groupe infinitésimal $\theta _0$ de $\theta $, ayant son algèbre de Lie associée isomorphe à $H$.},
author = {Quê, Ngô van, Rodrigues, A.A.M.},
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TY - JOUR
AU - Quê, Ngô van
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TI - Troisième théorème fondamental de réalisation de Cartan
JO - Annales de l'institut Fourier
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PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 25
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AB - De même qu’avec les groupes de Lie, à tout pseudo-groupe infinitésimal de Lie $\theta $ sur $R^n$ il est associé de façon naturelle une algèbre de Lie $L(\theta )$, qui est une sous-algèbre de Lie fermée de l’algèbre de Lie $D$ de tous les champs de vecteurs formels de $R^n$, l’algèbre $D$ étant munie de la topologie définie par la filtration naturelle de l’algèbre des séries formelles. Le troisième théorème fondamental de Cartan dit qu’inversement étant donnée une sous-algèbre de Lie transitive fermée $L$ de l’algèbre $D$, il existe un pseudo-groupe infinitésimal de Lie $\theta $ sur $R^n$ tel que son algèbre de Lie associée soit isomorphe à $L$. On précise dans ce travail les principaux arguments de Cartan, utilisés pour la démonstration de ce théorème, dans le cadre actuel du développement de la théorie des pseudo-groupes de Lie. On y démontre aussi les théorèmes dits de réalisation relative et homogène dont le résultat peut se résumer ainsi : si $\theta $ est un pseudo-groupe de Lie analytique et transitif sur $R^n$, alors pour toute sous-algèbre fermée $H$ de $L(\theta )$ telle que son normalisateur dans $L(\theta )$ soit une algèbre de Lie filtrée transitive, il existe un sous-pseudo-groupe infinitésimal $\theta _0$ de $\theta $, ayant son algèbre de Lie associée isomorphe à $H$.
LA - fre
UR - http://eudml.org/doc/74214
ER -

References

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