We study a twisted generalization of Lie superalgebras, called Hom-Lie superalgebras. It is obtained by twisting the graded Jacobi identity by an even linear map. We give a complete classification of the complex multiplicative Hom-Lie superalgebras of low dimensions.

In this paper, we present an abstract framework which describes algebraically the derivation of order conditions independently of the nature of differential equations considered or the type of integrators used to solve them. Our structure includes a Hopf algebra of functions, whose properties are used to answer several questions of prime interest in numerical analysis. In particular, we show that, under some mild assumptions, there exist integrators of arbitrarily high orders for arbitrary (modified)...

Nous tentons, dans ce survol, de présenter une structure méconnue : l'algèbre de Lie ARI et son groupe GARI. Puis nous montrons quels progrès elle a déjà permis de réaliser dans l'étude arithmético-algébrique des valeurs zêta multiples et aussi quelles possibilités elle ouvre pour l'exploration du phénomène plus général de /emph{dimorphie numérique}.

Nous démontrons que la catégorie de von Neumann est équivalente à la catégorie des cônes autopolaires, facialement homogènes, complexes. Un cône $\vee$ dans un espace hilbertien réel est dit : 1) facialement homogène quand pour toute face $F$ de $\vee$ l’opérateur $\delta =$ (Projection sur $F-F$) $-$ (Projection sur $F^{\perp }-F^{\perp }$) est une dérivation de $\vee$ (i.e. $e^{t\delta }\vee =\vee \forall t\in R$) ; 2) complexe quand on s’est donné une structure d’algèbre de Lie complexe sur l’algèbre de Lie réelle des dérivations de $\vee$, modulo son centre. Nous caractérisons les espaces...

Dans cet article, nous définissons des modules de (co)-homologie ${ℌ}_0(𝔊,𝔄)$, ${ℌ}_1(𝔊,𝔄)$, ${ℌ}^{\circ }(𝔊$, $𝔄)$, ${ℌ}^1(𝔊,𝔄)$ où $𝔊$ et $𝔄$ sont des algèbres de Lie munies d’une structure supplémentaire (algèbres de Lie croisées), qui satisfont les propriétés usuelles des foncteurs cohomologiques. Si $A$ est une $k$-algèbre, nous utilisons ces modules d’homologie pour comparer le groupe d’homologie cyclique $H{C}_1\left(A\right)$ avec un analogue additif du groupe de $K$-théorie de Milnor $K_2^{\mathrm{Madd}}\left(A\right)$.

We study Hom-Lie superalgebras of Heisenberg type. For 3-dimensional Heisenberg Hom-Lie superalgebras we describe their Hom-Lie super structures, compute the cohomology spaces and characterize their infinitesimal deformations.

Degenerations, contractions and deformations of various algebraic structures play an important role in mathematics and physics. There are many different definitions and special cases of these notions. We try to give a general definition which unifies these notions and shows the connections among them. Here we focus on contractions of Lie algebras and algebraic groups.

By using the interplay between the Eulerian idempotent and the Dynkin idempotent, we construct explicitly a particular symmetric solution $(F,G)$ of the first equation of the Kashiwara-Vergne conjecture$$x+y-log\left({\mathrm{e}}^y{\mathrm{e}}^x\right)=(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{ad}x})F(x,y)+({\mathrm{e}}^{\mathrm{ad}y}-1)G(x,y).$$Then, we explicit all the solutions of the equation in the completion of the free Lie algebra generated by two indeterminates $x$ and $y$ thanks to the kernel of the Dynkin idempotent.

We analyze stability for switched systems which are composed of both continuous-time and discrete-time subsystems. By considering a Lie algebra generated by all subsystem matrices, we show that if all subsystems are Hurwitz/Schur stable and this Lie algebra is solvable, then there is a common quadratic Lyapunov function for all subsystems and thus the switched system is exponentially stable under arbitrary switching. When not all subsystems are stable and the same Lie algebra is solvable, we show...