L'anneau de Milnor d'un corps local à corps résiduel parfait

Bruno Kahn

Annales de l'institut Fourier (1984)

  • Volume: 34, Issue: 4, page 19-65
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
Let K be a complete discrete valuation field with residue field k . When k is perfect, the structure of K 2 ( K ) has been determined by C.C. Moore, J.E. Carroll and A.S. Merkurjev. Their results are here generalized to the case when k is perfect with positive characteristic p . Main results are: p n K 2 ( K ) is p -divisible for large enough (explicit) n ; Milnor’s group K 2 top ( K ) is discrete, explicitly determined; K 2 ( K ) has no prime to p torsion, and its p -torsion is explicitly determined; Results on Milnor’s K -groups K m ( K ) are obtained as well: in particular, when m ≥ 3 , this group is p -divisible and has no p -torsion.

How to cite

top

Kahn, Bruno. "L'anneau de Milnor d'un corps local à corps résiduel parfait." Annales de l'institut Fourier 34.4 (1984): 19-65. <http://eudml.org/doc/74654>.

@article{Kahn1984,
abstract = {Soit $K$ un corps complet pour une valuation discrète, de corps résiduel $k$. Lorsque $k$ est fini, la structure de $K_2(K)$ a été déterminée par C.C. Moore, J.E. Carroll et A.S. Merkurjev. On généralise ici leurs résultats au cas où $k$ est parfait de caractéristique positive $p$. Les résultats principaux sont : $p^nK_2(K)$ est $p$-divisible pour $n$ assez grand (explicite); le groupe $K^\{\rm top\}_2(K)$ de Milnor est discret, explicitement déterminé ; $K_2(K)$ n’a pas de torsion première à $p$, et sa $p$-torsion est explicitement déterminée. On obtient également des résultats sur les groupes de Milnor $K_m(K)$; en particulier, lorsque $m\ge 3$, ce groupe est $p$-divisible sans $p$-torsion.},
author = {Kahn, Bruno},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {K2 of local field; Milnor ring; p-torsion; p-divisibility; higher K- groups},
language = {fre},
number = {4},
pages = {19-65},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {L'anneau de Milnor d'un corps local à corps résiduel parfait},
url = {http://eudml.org/doc/74654},
volume = {34},
year = {1984},
}

TY - JOUR
AU - Kahn, Bruno
TI - L'anneau de Milnor d'un corps local à corps résiduel parfait
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1984
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 34
IS - 4
SP - 19
EP - 65
AB - Soit $K$ un corps complet pour une valuation discrète, de corps résiduel $k$. Lorsque $k$ est fini, la structure de $K_2(K)$ a été déterminée par C.C. Moore, J.E. Carroll et A.S. Merkurjev. On généralise ici leurs résultats au cas où $k$ est parfait de caractéristique positive $p$. Les résultats principaux sont : $p^nK_2(K)$ est $p$-divisible pour $n$ assez grand (explicite); le groupe $K^{\rm top}_2(K)$ de Milnor est discret, explicitement déterminé ; $K_2(K)$ n’a pas de torsion première à $p$, et sa $p$-torsion est explicitement déterminée. On obtient également des résultats sur les groupes de Milnor $K_m(K)$; en particulier, lorsque $m\ge 3$, ce groupe est $p$-divisible sans $p$-torsion.
LA - fre
KW - K2 of local field; Milnor ring; p-torsion; p-divisibility; higher K- groups
UR - http://eudml.org/doc/74654
ER -

References

top
  1. [0] Algebraic K-theory, II, Lect Notes in Math., 342 (1973). Zbl0265.00008
  2. [1] H. BASS, J. TATE, The Milnor ring of a global field, in Algebraic K-theory, II, Lect. Notes in Math., 342 (1973), 349-428. Zbl0299.12013MR56 #449
  3. [2] J. E. CARROLL, On the torsion in K2 of local fields, in Algebraic K-theory, II, Lect. Notes in Math., 342 (1973), 464-473. Zbl0269.18011MR53 #2903
  4. [3] K. DENNIS, M. STEIN, K2 of discrete valuation rings, Adv. in Math., 18, n° 2 (1975), 182-238. Zbl0318.13017
  5. [4] B. KAHN, Thèse de 3e cycle, Université de Bordeaux I, 1983. 
  6. [5] K. KATO, A generalization of class field theory by using K-groups, I : Journ. Fac. Sci. Tokyo, 26 (1979), 303-376, II ; ibid. 27 (1980), 603-683. Zbl0428.12013
  7. [6] S. LANG, Algebra, Addison-Wesley, 1965. Zbl0193.34701MR33 #5416
  8. [7] J. MILNOR, Introduction to algebraic K-theory, Ann. of Math. Studies, 72, Princeton, 1971. Zbl0237.18005MR50 #2304
  9. [8] J. MILNOR, Algebraic K-theory and quadratic forms, Inv. Math., 9 (1969-1970), 318-344. Zbl0199.55501MR41 #5465
  10. [9] C. MOORE, Group extensions of p-adic and adelic linear groups, Publ. Math. I.H.E.S., 35 (1969). Zbl0159.03203
  11. [10] A. PARSIN, Abelian coverings of arithmetic schemes, Soviet. Math. Dokl., vol. 19, n° 6 (1978), 1438-1442. Zbl0443.12006MR80b:14014
  12. [11] I. R. ŠAFAREVIČ, A general reciprocity law, Amer. Math. Soc. Transl., 4 (1956), 73-105. Zbl0071.03303
  13. [12] J.-P. SERRE, Corps locaux, 2e éd., Hermann, Paris, 1968. 
  14. [13] J.-P. SERRE, Cohomologie galoisienne, Lect. Notes in Math., 5 (1964). Zbl0128.26303
  15. [14] C. SOULÉ, K2 et le groupe de Brauer, Séminaire Bourbaki (1982), n° 601. Zbl0535.14005
  16. [15] A. SUSLIN, Torsion in K2 of fields, prépublication, Léningrad, 1982. Zbl0635.12015
  17. [16] R. SWITZER, Algebraic topology-Homotopy and homology, Springer, 1975. Zbl0305.55001MR52 #6695
  18. [17] J. TATE, Relations between K2 and Galois cohomology, Inv. Math., 36 (1976), 257-274. Zbl0359.12011MR55 #2847
  19. [18] A. MERKURJEV and A. SUSLIN, K-cohomology of Severi-Brauer varieties and norm residue homomorphism, Math. USSR, Izvestija, 21 (1983), (trad. anglaise). Zbl0525.18008
  20. [19] A. MERKURJEV, On the torsion in K2 of local fields, Ann. of Math., 118 (1983), 375-381. Zbl0519.12010MR85c:11121
  21. [20] J. GRAHAM, Continuous symbols on fields of formal power series, Algebraic K-theory, II, Lect. Notes in Math., 342 (1973), 474-486. Zbl0272.18008MR51 #442
  22. [21] K. KATO, Milnor's K-theory and the Chow group of zero cycles, prépublication. Zbl0603.14009
  23. [22] J. TATE, On the torsion in K2 of fields, in Algebraic Number Theory Conference, Kyoto Intern. Symposium 1976, 243-261, Japan Soc. Prom. Sci., 1977. Zbl0368.12008
  24. [23] A. WEIL, L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications, 2e édition, Hermann, Paris, 1965. 

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.