Espaces de Sobolev gaussiens

Denis Feyel; A. de La Pradelle

Annales de l'institut Fourier (1989)

  • Volume: 39, Issue: 4, page 875-908
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let μ be a gaussian measure on a locally convex linear space E . We give a new point of view on the first Sobolev space W ( E , μ ) built on E with respect to μ . The differential f ' of f ∈ W ( E , μ ) is a function of two variables ( x , y ) ∈ E × E , which is “quasi-linear” in the second variable.The differential of a stochastic integral is a stochastic integral on E × E with respect to μ ⊗ μ . The natural “gaussian procapacity” is a true capacity if E is a Banach or a Frechet space or the weak dual of a separable Frechet nuclear space.Any f ∈ W ( E , μ ) is equal μ -almost everywhere to a quasi-continuous function g , moreover any such g has for any Cameron-Martin direction the absolute continuity property in almost every line parallel to this direction.

How to cite

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Feyel, Denis, and La Pradelle, A. de. "Espaces de Sobolev gaussiens." Annales de l'institut Fourier 39.4 (1989): 875-908. <http://eudml.org/doc/74860>.

@article{Feyel1989,
abstract = {Soit $\mu $ une mesure gaussienne sur un espace localement convexe $E$. On donne un nouveau point de vue sur le premier espace de Sobolev $W(E,\mu )$ construit sur $E$ et $\mu $. La différentielle $f^\{\prime \}$ de $f\in W(E,\mu )$ est une fonction de deux variables $(x,y)\in E\times E$, “quasi-linéaire” dans la seconde variable.La différentielle d’une intégrale stochastique est une intégrale stochastique sur $E\times E$ muni de $\mu \times \mu $.On montre que la “procapacité gaussienne” naturelle est une vraie capacité si $E$ est un espace de Banach ou de Fréchet ou le dual faible d’un espace de Fréchet séparable et nucléaire.On montre aussi que toute $f\in W(E,\mu )$ vaut $\mu $-presque partout une fonction quasi-continue, et que tous ses représentants quasi-continus sont absolument continus sur presque toute droite parallèle à une direction de Cameron-Martin.},
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