Systèmes linéaires adjoints L 2

Philippe Eyssidieux

Annales de l'institut Fourier (1999)

  • Volume: 49, Issue: 1, page 141-176
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
We adapt Atiyah’s L 2 -index theory to treat coherent sheaves on algebraic manifolds and use it as a tool to investigate certain questions posed by J. Kollár.Let X be a connected projective algebraic compact complex manifold. We prove that, if L is a big and nef divisor on X , such that the restriction of K X + L to the general fiber of a Shafarevich map is effective, K X + L is effective.Let X be a connected Kähler manifold such that some big cohomology class of type ( 1 , 1 ) is in the image of H 2 ( π 1 ( X ) , ℝ ) . We prove that χ ( X , K X ) ≥ 0 . Furthermore, if χ ( X , K X ) is not 0 , the universal covering space of X carries a non trivial L 2 holomorphic form of maximal degree. If χ ( X , K X ) is zero, we prove that zero belongs to the spectrum of the Laplace-Beltrami operator on the middle degree forms, provided the fundamental group has subexponential growth.

How to cite

top

Eyssidieux, Philippe. "Systèmes linéaires adjoints $L^2$." Annales de l'institut Fourier 49.1 (1999): 141-176. <http://eudml.org/doc/75331>.

@article{Eyssidieux1999,
abstract = {Nous développons une version de la théorie d’indice $L^2$ d’Atiyah pour les faisceaux cohérents sur les variétés algébriques lisses et l’utilisons pour attaquer certaines questions de J. Kollár.Soit $X$ une variété complexe compacte projective algébrique lisse et connexe. Nous prouvons que si $L$ est un diviseur nef et gros, tel que la restriction de $K_X+L$ à la fibre générale d’une application de Shafarevich est effective, $K_X+L$ est effectif.Soit $X$ une variété kählérienne compacte telle qu’il existe une classe de cohomologie de type $(1,1)$ qui soit big et provienne du groupe fondamental de $X$. Nous prouvons que $\chi (X, K_X) \ge 0$. Si $\chi (X, K_X) \ne 0$, le revêtement universel de $X$ porte une forme holomorphe $L^2$ de degré maximale non triviale. Si $\chi (X, K_X) = 0$, nous prouvons que zéro est dans le spectre du laplacien sur les formes de degré moitié si le groupe fondamental est de croissance sous-exponentielle.},
author = {Eyssidieux, Philippe},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = { index theorem; Nadel's vanishing theorem; adjoint bundle; adjoint linear systems; coherent sheaves; Shafarevich map; fundamental group},
language = {fre},
number = {1},
pages = {141-176},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Systèmes linéaires adjoints $L^2$},
url = {http://eudml.org/doc/75331},
volume = {49},
year = {1999},
}

TY - JOUR
AU - Eyssidieux, Philippe
TI - Systèmes linéaires adjoints $L^2$
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1999
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 49
IS - 1
SP - 141
EP - 176
AB - Nous développons une version de la théorie d’indice $L^2$ d’Atiyah pour les faisceaux cohérents sur les variétés algébriques lisses et l’utilisons pour attaquer certaines questions de J. Kollár.Soit $X$ une variété complexe compacte projective algébrique lisse et connexe. Nous prouvons que si $L$ est un diviseur nef et gros, tel que la restriction de $K_X+L$ à la fibre générale d’une application de Shafarevich est effective, $K_X+L$ est effectif.Soit $X$ une variété kählérienne compacte telle qu’il existe une classe de cohomologie de type $(1,1)$ qui soit big et provienne du groupe fondamental de $X$. Nous prouvons que $\chi (X, K_X) \ge 0$. Si $\chi (X, K_X) \ne 0$, le revêtement universel de $X$ porte une forme holomorphe $L^2$ de degré maximale non triviale. Si $\chi (X, K_X) = 0$, nous prouvons que zéro est dans le spectre du laplacien sur les formes de degré moitié si le groupe fondamental est de croissance sous-exponentielle.
LA - fre
KW - index theorem; Nadel's vanishing theorem; adjoint bundle; adjoint linear systems; coherent sheaves; Shafarevich map; fundamental group
UR - http://eudml.org/doc/75331
ER -

References

top
  1. [1] U. ANGEHRN et Y.T. SIU, Effective freeness and point separation for adjoint bundles, Invent. Math., 122 (1995), 291-308. Zbl0847.32035MR97b:32036
  2. [2] M. ATIYAH, Elliptic operators, discrete groups and Von Neumann algebras Soc. Math. Fr. Asterisque, 32-33, 1976, 43-72. Zbl0323.58015
  3. [3] N. BERLINE, E. GETZLER, M. VERGNE, Heat Kernels and Dirac Operators, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 298, Springer, 1992. Zbl0744.58001MR94e:58130
  4. [4] F. CAMPANA, Remarques sur le revêtement universel des variété kähleriennes, Bull. Soc. Math. Fr., 122 (1994), 255-284. Zbl0810.32013MR95f:32036
  5. [5] F. CAMPANA, Fundamental group and positivity of cotangent bundles of compact Kähler manifolds, J. Alg. Geo., 4 (1995), 487-502. Zbl0845.32027MR96f:32054
  6. [6] F. CAMPANA et J.-P. DEMAILLY, Communication personnelle. 
  7. [7] J.P. DEMAILLY, L2 Vanishing theorems for Positive Line Bundles and Adjunction Theory, in Transcendental Methods in Algebraic Geometry, édité par F. Catanese et C. Ciliberto, LNM, 1646 (1996), Springer Verlag. Zbl0883.14005MR99k:32051
  8. [8] J.-P. DEMAILLY, Estimations L2 pour l'opérateur ∂ d'un fibré vectoriel holomorphe semi-positif au dessus d'une variété kählerienne complète, Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, 15 (1982), 457-511. Zbl0507.32021MR85d:32057
  9. [9] P. EYSSIDIEUX, La caractéristique d'Euler du complexe de Gauss-Manin, J. für reine und angew. Math., 490 (1997) 155-212. Zbl0886.32013MR98g:32050
  10. [10] P. EYSSIDIEUX, Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques cohérents, Prépublication n. 124 du Laboratoire Emile Picard (Juin 1998), math. AG/9806159. Zbl0964.32008
  11. [11] M. FARBER, Homological algebra of Novikov-Shubin invariants and Morse inequalities, GAFA, Vol. 6, n° 4 (1996) 628-665. Zbl0866.57026MR97m:58034
  12. [12] H. GRAUERT et R. REMMERT, Coherent Analytic Sheaves, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 265, Springer, 1984. Zbl0537.32001MR86a:32001
  13. [13] R. HARTSHORNE, Algebraic geometry, GTM 52, Springer, 1977. Zbl0367.14001MR57 #3116
  14. [14] H. HIRONAKA, Résolution of singularities over a field of characteristic zero, Ann. of Math., 79 (1964), 109-326. Zbl0122.38603MR33 #7333
  15. [15] M. GREEN et R. LAZARSFELD, Deformation theory, Generic vanishing theorems and some conjectures of Enriques, Catanese and Beauville, Inv. Math., 90 (1987), 389-407. Zbl0659.14007
  16. [16] M. GROMOV, Kähler hyperbolicity and L2-Hodge theory, Journal of Differential Geometry, 33, 1991, 263-291. Zbl0719.53042MR92a:58133
  17. [17] M. GROMOV, G. HENKIN, M. SHUBIN, L2 holomorphic functions on pseudoconvex coverings, GAFA, Vol. 8, n° 3 (1998) 552-585. Zbl0926.32011MR2000d:32058
  18. [18] D. KAZHDAN, On arithmetic varieties, in Lie Groups and their representations, Halsted, New York, 1975. Zbl0308.14007MR58 #6073
  19. [19] J. KOLLÁR, Shafarevich maps and Automorphic Forms, Princeton University Press, 1995. Zbl0871.14015MR96i:14016
  20. [20] J. KOLLÁR, Shafarevich maps and plurigenera of algebraic varieties, Inv. Math., 113 (1993), 177-215. Zbl0819.14006MR94m:14018
  21. [21] S. NOVIKOV et M. SHUBIN, Morse inequalities and Von Neumann invariants of non simply connected manifolds, Uspehi Matem. Nauk, 41 (1986), 222. 
  22. [22] P. PANSU, An introduction to L2 Betti numbers, dans Riemmannian Geometry, ed. Besson, Lokhamp, Pansu, Petersen, Fields Institute Monographs, AMS, 1996. Zbl0848.53025MR97c:58148
  23. [23] H. SKODA, Sous-ensembles analytiques d'ordre fini ou infini dans ℂn, Bull. Soc. Math. Fr., 100 (1972), 353-408. Zbl0246.32009MR50 #5004
  24. [24] S. TAKAYAMA, Nonvanishing Theorems on an algebraic Variety with large fundamental group, Prépublication, Naruto University of Education, (1997) à paraître J. Alg. Geom. Zbl0945.14010
  25. [25] K. YOSIDA, Functionnal Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 123, 6e édition, Springer, 1980. Zbl0435.46002MR82i:46002

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.