Systèmes linéaires adjoints L 2

Philippe Eyssidieux

Annales de l'institut Fourier (1999)

  • Volume: 49, Issue: 1, page 141-176
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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We adapt Atiyah’s L 2 -index theory to treat coherent sheaves on algebraic manifolds and use it as a tool to investigate certain questions posed by J. Kollár.Let X be a connected projective algebraic compact complex manifold. We prove that, if L is a big and nef divisor on X , such that the restriction of K X + L to the general fiber of a Shafarevich map is effective, K X + L is effective.Let X be a connected Kähler manifold such that some big cohomology class of type ( 1 , 1 ) is in the image of H 2 ( π 1 ( X ) , ) . We prove that χ ( X , K X ) 0 . Furthermore, if χ ( X , K X ) is not 0 , the universal covering space of X carries a non trivial L 2 holomorphic form of maximal degree. If χ ( X , K X ) is zero, we prove that zero belongs to the spectrum of the Laplace-Beltrami operator on the middle degree forms, provided the fundamental group has subexponential growth.

How to cite

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Eyssidieux, Philippe. "Systèmes linéaires adjoints $L^2$." Annales de l'institut Fourier 49.1 (1999): 141-176. <http://eudml.org/doc/75331>.

@article{Eyssidieux1999,
abstract = {Nous développons une version de la théorie d’indice $L^2$ d’Atiyah pour les faisceaux cohérents sur les variétés algébriques lisses et l’utilisons pour attaquer certaines questions de J. Kollár.Soit $X$ une variété complexe compacte projective algébrique lisse et connexe. Nous prouvons que si $L$ est un diviseur nef et gros, tel que la restriction de $K_X+L$ à la fibre générale d’une application de Shafarevich est effective, $K_X+L$ est effectif.Soit $X$ une variété kählérienne compacte telle qu’il existe une classe de cohomologie de type $(1,1)$ qui soit big et provienne du groupe fondamental de $X$. Nous prouvons que $\chi (X, K_X) \ge 0$. Si $\chi (X, K_X) \ne 0$, le revêtement universel de $X$ porte une forme holomorphe $L^2$ de degré maximale non triviale. Si $\chi (X, K_X) = 0$, nous prouvons que zéro est dans le spectre du laplacien sur les formes de degré moitié si le groupe fondamental est de croissance sous-exponentielle.},
author = {Eyssidieux, Philippe},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
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