Vitesse de convergence dans le théorème limite central pour des chaînes de Markov fortement ergodiques
Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques (2008)
- Volume: 44, Issue: 2, page 280-292
- ISSN: 0246-0203
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topHervé, Loïc. "Vitesse de convergence dans le théorème limite central pour des chaînes de Markov fortement ergodiques." Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques 44.2 (2008): 280-292. <http://eudml.org/doc/77970>.
@article{Hervé2008,
abstract = {Soit Q une probabilité de transition sur un espace mesurable E, admettant une probabilité invariante, soit (Xn)n une chaîne de Markov associée à Q, et soit ξ une fonction réelle mesurable sur E, et Sn=∑nk=1ξ(Xk). Sous des hypothèses fonctionnelles sur l’action de Q et des noyaux de Fourier Q(t), nous étudions la vitesse de convergence dans le théorème limite central pour la suite $(\frac\{S_\{n\}\}\{\sqrt\{n\}\})_\{n\}$. Selon les hypothèses nous obtenons une vitesse enn−τ/2 pour tout τ<1, ou bien en n−1/2. Nous appliquons la méthode de Nagaev en l’améliorant, d’une part grâce à un théorème de perturbations de Keller et Liverani, d’autre part grâce à une majoration de $|\mathbb \{E\}[\mathrm \{e\}^\{\mathrm \{i\}t\{S_\{n\}\}/\{\sqrt\{n\}\}\}]-\mathrm \{e\}^\{\{-t^\{2\}\}/\{2\}\}|$ obtenue par une méthode de réduction en différence de martingale. LorsqueE est non compact ou ξ est non bornée, les conditions requises ici sur Q(t) (en substance, des conditions de moment sur ξ) sont plus faibles que celles habituellement imposées lorsqu’on utilise le théorème de perturbation standard. Par exemple, dans le cadre des chaînes V-géométriquement ergodiques ou des modèles itératifs Lipschitziens, on obtient dans le t.l.c. une vitesse en n−1/2 sous une hypothèse de moment d’ordre 3 sur ξ.},
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TY - JOUR
AU - Hervé, Loïc
TI - Vitesse de convergence dans le théorème limite central pour des chaînes de Markov fortement ergodiques
JO - Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques
PY - 2008
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AB - Soit Q une probabilité de transition sur un espace mesurable E, admettant une probabilité invariante, soit (Xn)n une chaîne de Markov associée à Q, et soit ξ une fonction réelle mesurable sur E, et Sn=∑nk=1ξ(Xk). Sous des hypothèses fonctionnelles sur l’action de Q et des noyaux de Fourier Q(t), nous étudions la vitesse de convergence dans le théorème limite central pour la suite $(\frac{S_{n}}{\sqrt{n}})_{n}$. Selon les hypothèses nous obtenons une vitesse enn−τ/2 pour tout τ<1, ou bien en n−1/2. Nous appliquons la méthode de Nagaev en l’améliorant, d’une part grâce à un théorème de perturbations de Keller et Liverani, d’autre part grâce à une majoration de $|\mathbb {E}[\mathrm {e}^{\mathrm {i}t{S_{n}}/{\sqrt{n}}}]-\mathrm {e}^{{-t^{2}}/{2}}|$ obtenue par une méthode de réduction en différence de martingale. LorsqueE est non compact ou ξ est non bornée, les conditions requises ici sur Q(t) (en substance, des conditions de moment sur ξ) sont plus faibles que celles habituellement imposées lorsqu’on utilise le théorème de perturbation standard. Par exemple, dans le cadre des chaînes V-géométriquement ergodiques ou des modèles itératifs Lipschitziens, on obtient dans le t.l.c. une vitesse en n−1/2 sous une hypothèse de moment d’ordre 3 sur ξ.
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KW - Markov chains; rate of convergence in central limit theorem; spectral method
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ER -
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