Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois A 4

Marjory Godin; Bouchaïb Sodaïgui

Journal de théorie des nombres de Bordeaux (2002)

  • Volume: 14, Issue: 1, page 241-248
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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Let k be a number field and 𝒞 l ( k ) its class group. A Galois extension of k is called alternating if its Galois group is isomorphic to the alternating group A 4 . Let E / k be a cyclic extension of degree 3 . We calculate the Steinitz class, in 𝒞 l ( k ) , of every alternating extension containing E . Under the assumption that the class number of k is odd, we determine the set of such classes and we prove that it is a subgroup of 𝒞 l ( k ) when the ring of integers of E is free over that for k or the order of 𝒞 l ( k ) is not divisible by 3 . Next, we prove that the subset of 𝒞 l ( k ) consisting of those classes which are realizable as the Steinitz classes of alternating (resp. tame alternating) extensions is the full group 𝒞 l ( k ) .

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Godin, Marjory, and Sodaïgui, Bouchaïb. "Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois $A_4$." Journal de théorie des nombres de Bordeaux 14.1 (2002): 241-248. <http://eudml.org/doc/93841>.

@article{Godin2002,
abstract = {Soient $k$ un corps de nombres et $\mathcal \{C\}l(k)$ son groupe des classes. Une extension de $k$ à groupe de Galois isomorphe au groupe alterné $A_4$ est dite alternée. Soit $E/k$ une extension cyclique de degré $3$. On calcule la classe de Steinitz, dans $\mathcal \{C\}l(k)$, de toute extension alternée contenant $E$. Sous l’hypothèse que le nombre des classes de $k$ est impair, on détermine l’ensemble de telles classes et on montre que c’est un sous-groupe de $\mathcal \{C\}l(k)$ lorsque l’anneau des entiers de $E$ est libre sur celui de $k$ ou $3$ ne divise pas l’ordre de $\mathcal \{C\}l(k)$. Ensuite, on montre que l’ensemble des éléments de $\mathcal \{C\}l(k)$ qui sont réalisables par des classes de Steinitz d’extensions alternées (resp. alternées et modérées) est le groupe $\mathcal \{C\}l(k)$ tout entier.},
author = {Godin, Marjory, Sodaïgui, Bouchaïb},
journal = {Journal de théorie des nombres de Bordeaux},
keywords = {alternating group; number field; Steinitz class},
language = {fre},
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publisher = {Université Bordeaux I},
title = {Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois $A_4$},
url = {http://eudml.org/doc/93841},
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TY - JOUR
AU - Godin, Marjory
AU - Sodaïgui, Bouchaïb
TI - Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois $A_4$
JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY - 2002
PB - Université Bordeaux I
VL - 14
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AB - Soient $k$ un corps de nombres et $\mathcal {C}l(k)$ son groupe des classes. Une extension de $k$ à groupe de Galois isomorphe au groupe alterné $A_4$ est dite alternée. Soit $E/k$ une extension cyclique de degré $3$. On calcule la classe de Steinitz, dans $\mathcal {C}l(k)$, de toute extension alternée contenant $E$. Sous l’hypothèse que le nombre des classes de $k$ est impair, on détermine l’ensemble de telles classes et on montre que c’est un sous-groupe de $\mathcal {C}l(k)$ lorsque l’anneau des entiers de $E$ est libre sur celui de $k$ ou $3$ ne divise pas l’ordre de $\mathcal {C}l(k)$. Ensuite, on montre que l’ensemble des éléments de $\mathcal {C}l(k)$ qui sont réalisables par des classes de Steinitz d’extensions alternées (resp. alternées et modérées) est le groupe $\mathcal {C}l(k)$ tout entier.
LA - fre
KW - alternating group; number field; Steinitz class
UR - http://eudml.org/doc/93841
ER -

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