Minoration de la hauteur normalisée des hypersurfaces

Francesco Amoroso; Sinnou David

Acta Arithmetica (2000)

  • Volume: 92, Issue: 4, page 339-366
  • ISSN: 0065-1036

Abstract

top
1. Introduction. Dans un article célèbre, D. H. Lehmer posait la question suivante (voir [Le], §13, page 476): «The following problem arises immediately. If ε is a positive quantity, to find a polynomial of the form: f ( x ) = x r + a 1 x r - 1 + ⋯ + a r where the a’s are integers, such that the absolute value of the product of those roots of f which lie outside the unit circle, lies between 1 and 1 + ε (...). Whether or not the problem has a solution for ε < 0.176 we do not know.» Cette question, toujours ouverte, est la source de nombreuses conjectures: généralisation aux minimums successifs de la hauteur (ou hauteur d’un point dans m n ), hauteur normalisée d’une sous-variété de m n , ou encore analogues des ces questions sur les variétés abéliennes. Après une brève description de ces questions, nous nous intéresserons plus particulièrement aux hypersurfaces de m n , pour lesquelles nous donnerons des minorations du type de celles déjà obtenues par Dobrowolski pour les points de m .

How to cite

top

Francesco Amoroso, and Sinnou David. "Minoration de la hauteur normalisée des hypersurfaces." Acta Arithmetica 92.4 (2000): 339-366. <http://eudml.org/doc/207392>.

@article{FrancescoAmoroso2000,
abstract = {1. Introduction. Dans un article célèbre, D. H. Lehmer posait la question suivante (voir [Le], §13, page 476): «The following problem arises immediately. If ε is a positive quantity, to find a polynomial of the form: $f(x) = x^r + a_1x^\{r-1\} + ⋯ +a_r$ where the a’s are integers, such that the absolute value of the product of those roots of f which lie outside the unit circle, lies between 1 and 1 + ε (...). Whether or not the problem has a solution for ε < 0.176 we do not know.» Cette question, toujours ouverte, est la source de nombreuses conjectures: généralisation aux minimums successifs de la hauteur (ou hauteur d’un point dans $_m^n$), hauteur normalisée d’une sous-variété de $_m^n$, ou encore analogues des ces questions sur les variétés abéliennes. Après une brève description de ces questions, nous nous intéresserons plus particulièrement aux hypersurfaces de $_m^n$, pour lesquelles nous donnerons des minorations du type de celles déjà obtenues par Dobrowolski pour les points de $_m$.},
author = {Francesco Amoroso, Sinnou David},
journal = {Acta Arithmetica},
keywords = {height; Lehmer problem; multiplicative group},
language = {fre},
number = {4},
pages = {339-366},
title = {Minoration de la hauteur normalisée des hypersurfaces},
url = {http://eudml.org/doc/207392},
volume = {92},
year = {2000},
}

TY - JOUR
AU - Francesco Amoroso
AU - Sinnou David
TI - Minoration de la hauteur normalisée des hypersurfaces
JO - Acta Arithmetica
PY - 2000
VL - 92
IS - 4
SP - 339
EP - 366
AB - 1. Introduction. Dans un article célèbre, D. H. Lehmer posait la question suivante (voir [Le], §13, page 476): «The following problem arises immediately. If ε is a positive quantity, to find a polynomial of the form: $f(x) = x^r + a_1x^{r-1} + ⋯ +a_r$ where the a’s are integers, such that the absolute value of the product of those roots of f which lie outside the unit circle, lies between 1 and 1 + ε (...). Whether or not the problem has a solution for ε < 0.176 we do not know.» Cette question, toujours ouverte, est la source de nombreuses conjectures: généralisation aux minimums successifs de la hauteur (ou hauteur d’un point dans $_m^n$), hauteur normalisée d’une sous-variété de $_m^n$, ou encore analogues des ces questions sur les variétés abéliennes. Après une brève description de ces questions, nous nous intéresserons plus particulièrement aux hypersurfaces de $_m^n$, pour lesquelles nous donnerons des minorations du type de celles déjà obtenues par Dobrowolski pour les points de $_m$.
LA - fre
KW - height; Lehmer problem; multiplicative group
UR - http://eudml.org/doc/207392
ER -

References

top
  1. [Am-Da] F. Amoroso et S. David, Le problème de Lehmer en dimension supé- rieure, J. Reine Angew. Math. 513 (1999), 145-179. 
  2. [Bo-Va] E. Bombieri and J. Vaaler, On Siegel's lemma, Invent. Math. 73 (1983), 11-32. Zbl0533.10030
  3. [Bor] A. Borel, Linear Algebraic Groups, Benjamin, Reading, MA, 1969. 
  4. [Boy] D. Boyd, Kronecker's theorem and Lehmer's problem for polynomials in several variables, J. Number Theory 13 (1980), 116-121. Zbl0447.12003
  5. [Da-Ph1] S. David et P. Philippon, Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés de variétés abéliennes, dans: Contemp. Math. 210, K. Murty et M. Waldschmidt (éds.), Amer. Math. Soc., 1988, 333-364. 
  6. [Da-Ph2] S. David et P. Philippon, Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés des tores, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (4) 28 (1999), 489-543. 
  7. [Do] E. Dobrowolski, On a question of Lehmer and the number of irreducible factors of a polynomial, Acta Arith. 34 (1979), 391-401. Zbl0416.12001
  8. [Do-La-Sc] E. Dobrowolski, W. Lawton and A. Schinzel, On a problem of Lehmer, in: Studies in Pure Mathematics, To the memory of Paul Turán, P. Erdős (éd.), Birkhäuser, Basel, 1983, 135-144. 
  9. [Hi] M. Hindry, Autour d'une conjecture de S. Lang, Invent. Math. 94 (1988), 575-603. Zbl0638.14026
  10. [La] W. Lawton, A generalization of a theorem of Kronecker, J. Sci. Fac. Chiang-mai Univ. (Thaïlande) 4 (1977), 15-23. Zbl0447.12004
  11. [Le] D. H. Lehmer, Factorisation of some cyclotomic functions, Ann. of Math. 34 (1933), 461-479. Zbl0007.19904
  12. [Ph1] P. Philippon, Critères pour l'indépendance algébrique, Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci. 64 (1986), 5-52. 
  13. [Ph2] P. Philippon, Sur des hauteurs alternatives I, II et III, Math. Ann. 289 (1991), 255-283; Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 44 (1994), 1043-1065; J. Math. Pures Appl. 74 (1995), 345-365. Zbl0726.14017
  14. [Ra] U. Rausch, On a theorem of Dobrowolski about the product of conjugate numbers, Colloq. Math. 50 (1985), 137-142. Zbl0579.12001
  15. [Sc] A. Schinzel, On the product of the conjugates outside the unit circle of an algebraic number, Acta Arith. 24 (1973), 385-399; Addendum, ibid. 26 (1973), 329-331. Zbl0275.12004
  16. [Sm] C. J. Smyth, A Kronecker-type theorem for complex polynomials in several variables, Canad. Math. Bull. 24 (1981), 447-452; Errata, ibid. 25 (1982), 504. Zbl0475.12002
  17. [St-Va] T. Struppeck and J. Vaaler, Inequalities for heights of algebraic subspaces and the Thue-Siegel principle, in: Analytic Number Theory, Proc. Conf. in Honor of Paul T. Bateman, Progr. Math. 85, Birkhäuser, Boston, 1990, 494-527. 
  18. [Sz-Ul-Zh] L. Szpiro, E. Ullmo et S. Zhang, Équidistribution des petits points, Invent. Math. 127 (1997), 337-347. 
  19. [Vo] P. Voutier, An effective lower bound for the height of algebraic numbers, Acta Arith. 74 (1996), 81-95. 
  20. [Zh1] S. Zhang, Positive line bundles on arithmetic surfaces, Ann. of Math. 136 (1992), 569-587. Zbl0788.14017
  21. [Zh2] S. Zhang, Positive line bundles on arithmetic varieties, J. Amer. Math. Soc. 8 (1995), 187-221. Zbl0861.14018
  22. [Zh3] S. Zhang, Small points and adelic metrics, J. Algebraic Geom. 4 (1995), 281-300. Zbl0861.14019

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.