Sur la méthode de Picard (EDO et EDS)
Processus abéliens associés à un semi-groupe.
Sur la théorie fine du potentiel
La quasi-continuité dans l'étude du problème de Dirichlet. Effilement minimal abstrait et ensembles convexes compacts
Les problèmes de Dirichlet sur la frontière de Martin, sur la frontière de Choquet d’un simplexe métrisable compact, et sur la frontière de Silov d’un simplexe de Bauer métrisable sont tous susceptibles d’une seule méthode de résolution qui utilise un espace de fonctions dites quasi-continues. Cela contient aussi le théorème des limites fines de Fatou-Naïm qui exprime une quasi-continuité jusqu’à la frontière.
Ensembles singuliers associés aux espaces de Banach réticulés
À tout espace de Banach fonctionnel réticulé est associée une quasi-topologie. Avec une hypothèse de dénombrabilité convenable, cette notion généralise la topologie polonaise classique. Les ensembles singuliers sont les ensembles discrets, clairsemés etc. que l’on caractérise à l’aide des mesures qu’ils portent. Le théorème de Baire admet aussi une généralisation. Application est faite au modèle probabiliste et à la théorie du potentiel.
Principe du minimum et préfaisceau maximaux
Intégrales de capacités fortement sous-additives
Espaces de Sobolev gaussiens
Soit une mesure gaussienne sur un espace localement convexe . On donne un nouveau point de vue sur le premier espace de Sobolev construit sur et . La différentielle de est une fonction de deux variables , “quasi-linéaire” dans la seconde variable. La différentielle d’une intégrale stochastique est une intégrale stochastique sur muni de . On montre que la “procapacité gaussienne” naturelle est une vraie capacité si est un espace de Banach ou de Fréchet ou...
Capacités gaussiennes
On étudie les espaces de Sobolev construits sur un espace localement convexe muni d’une mesure gaussienne centree . Si est de Radon, on démontre que les capacités naturelles sont tendues sur les compacts. Cela résulte d’un principe général relatif aux quasi-normes. On s’intéresse également aux fonctions quasi-continues a valeurs banachiques, ce qui est utile pour les propriétés de Nikodym, et à des applications à la continuité des trajectoires des intégrales stochastiques.
Étude de l’équation où est une mesure positive
On montre que les solutions faibles de l’équation , où est une mesure positive négligeant les polaires, vérifient une inégalité de Harnack. On s’occupe également des sursolutions dont on fait la représentation intégrale a l’aide d’une fonction de Green. Comme les solutions sont discontinues, on est amené à utiliser les formules probabilistes.
Faisceaux maximaux de fonctions associées à un opérateur elliptique du second ordre
Soit le faisceau des sursolutions variationnelles d’un opérateur différentiel elliptique du second ordre à coefficients . Soit le faisceau des régularitées essentielles inférieures des éléments de . On démontre que est contenu dans un seul préfaisceau maximal de cônes convexes de fonctions s.c.i. vérifiant le principe du minimum sur une base d’ouverts suffisamment petits. On démontre que possède toutes les bonnes propriétés d’une théorie locale du potentiel.
Faisceaux d'espaces de Sobolev et principes du minimum
On montre que le faisceau des sursolutions locales dans d’un certain opérateur elliptique est maximal pour un principe du minimum adapté aux espaces de Sobolev. La continuité de la réduite variationnelle des éléments continus permet alors d’étudier des représentants s.c.i.
Topologies fines et compactifications associées à certains espaces de Dirichlet
Nous commençons par définir la notion d’espaces où est une capacité, ce qui permet d’introduire la notion de mesure d’énergie finie par rapport à , et de parler d’espaces de Dirichlet basés sur . Soit d’autre part un espace de Dirichlet en ce sens avec potentiels s.c.i. : on étudie les espaces de Dirichlet sur les ouverts fins correspondants à l’aide d’une compactification. On retrouve plus facilement et on généralise les résultats de D. Feyel et A. de La Pradelle, (Lecture Notes)....
Principe du minimum et préfaisceaux maximaux
Le faisceau des fonctions hyperharmoniques dans les ouverts de vérifie le principe du minimum et est maximal parmi les faisceaux de cônes convexes de fonctions s.c.i. vérifiant ce principe du minimum. On se donne plus généralement un espace localement dans lequel on définit différents principes du minimum, et on étudie la donnée d’un faisceau de cônes convexes de fonctions s.c.i. qui soit maximal par rapport à l’un de ces principes. On montre ainsi comment on peut...
The abstract Riemannian path space.
On the approximate solutions of the Stratonovitch equation.
Curvilinear integrals along enriched paths.
A non-commutative sewing lemma.
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