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Le présent mémoire est le second dans une série où la théorie des espaces fonctionnels et de la complétion fonctionnelle est développée en général et dans des cas particuliers en vue d’une application systématique aux problèmes différentiels. Dans cette première partie nous nous occupons des classes $P^{\alpha }$ des potentiels de Bessel d’ordre $\alpha$ dans un espace euclidien ${\mathbf{R}}^n$ entier. Nous considérons les classes $p^{\alpha }$ à deux points de vue : 1) comme les complétions parfaites des fonctions $C_0^{\infty }$ relatives aux normes $\parallel u{\parallel }_{\alpha }...$...

Dans le travail présent nous considérons des classes linéaires fonctionnelles $ℱ$ dont les fonctions sont définies sur un ensemble de base à l’exception d’un ensemble $A\subset ℰ$ appartenant à une classe $𝔞$ d’ensemble ($A$ variant avec la fonction). Les notions d’une classe fonctionnelle normée et d’un espace fonctionnel sont introduites ensuite. Notre problème central est de trouver une complétion fonctionnelle $\widetilde{ℱ}$ d’une classe fonctionnelle normée $ℱ$ (c’est-à-dire un espace fonctionnel complet $\widetilde{ℱ}$ dont $ℱ$ soit un...

Dans cette partie de la théorie des potentiels besseliens on considère les restrictions de potentiels de la classe $P^a(R^n)$ aux domaines ouverts $D\subset R^n$. On cherche à caractériser de manière intrinsèque la classe $P^a\left(D\right)$ ainsi obtenue. On attaque ce problème en définissant de manière directe (§ 2) une classe ${\check{P}}^a\left(D\right)\subset P^a\left(D\right)$ qui, pour des domaines assez réguliers, est égale à $P^a\left(D\right)$. L’égalité $P^a\left(D\right)=P^a\left(D\right)$ est équivalente à l’existence d’un opérateur-extension $E:{\check{P}}^a\left(D\right)\to P^a(R^n)$, linéaire et continu, tel que $Eu$ soit une extension de $u$. Si...