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On donne une revue des propriétés de certaines classes des potentiels besséliens dans ${\mathbf{R}}^n$. On obtient leurs définitions directes (ne faisant pas appel à leurs représentations comme potentiels). On étudie leurs restrictions à certains sous-ensembles de ${\mathbf{R}}^n$, notamment aux hyperplans $k$-dimensionnels et aux sous-ensembles ouverts. On omet ici, par manque de place la question des restrictions aux sous-variétés différentiables.

Dans le mémoire présent une méthode nouvelle est présentée pour la recherche des différentes classes de potentiels, associées aux classes $L^p$. Cette méthode consiste dans l’établissement de formules intégrales appropriées, représentant les fonctions de ces classes. L’analyse des opérateurs intégraux donnés par ces formules permet d’obtenir tous les résultats. Dans le premier chapitre, on introduit les différentes normes sur l’espace $C_0^{\infty }$ qui, par complétion, donnent naissance...

In the previous parts of the series on Bessel potentials the present part was announced as dealing with . The last notion is best defined in the more general framework of . In a subcartesian space $X$ we define the local potentials of $\alpha :u\in P_{\mathrm{loc}}^{⟨\alpha ⟩}\left(X\right)$, if for any chart $(U,\phi ,{\mathbf{R}}^n)$ of the structure of $X,u\circ {\gamma }^{-1}$ can be extended from $\phi \left(U\right)$ to the whole of ${\mathbf{R}}^n$ as potential in $P_{\mathrm{loc}}^{\alpha +(n/2)}({\mathbf{R}}^n)$. This definition is not intrinsic. We obtain an intrinsic characterization of $P_{\mathrm{loc}}^{⟨\alpha ⟩}\left(X\right)$ when $X$ is with , i.e. form some atlas of $X$ the image of each chart is...

Le présent mémoire est le second dans une série où la théorie des espaces fonctionnels et de la complétion fonctionnelle est développée en général et dans des cas particuliers en vue d’une application systématique aux problèmes différentiels. Dans cette première partie nous nous occupons des classes $P^{\alpha }$ des potentiels de Bessel d’ordre $\alpha$ dans un espace euclidien ${\mathbf{R}}^n$ entier. Nous considérons les classes $p^{\alpha }$ à deux points de vue : 1) comme les complétions parfaites des fonctions $C_0^{\infty }$ relatives aux normes $\parallel u{\parallel }_{\alpha }...$...

Dans le travail présent nous considérons des classes linéaires fonctionnelles $ℱ$ dont les fonctions sont définies sur un ensemble de base à l’exception d’un ensemble $A\subset ℰ$ appartenant à une classe $𝔞$ d’ensemble ($A$ variant avec la fonction). Les notions d’une classe fonctionnelle normée et d’un espace fonctionnel sont introduites ensuite. Notre problème central est de trouver une complétion fonctionnelle $\widetilde{ℱ}$ d’une classe fonctionnelle normée $ℱ$ (c’est-à-dire un espace fonctionnel complet $\widetilde{ℱ}$ dont $ℱ$ soit un...

In this paper Bessel potentials on $C^{\infty }$-Riemannian manifolds (open or bordered) are studied. Let $\mathbf{M}$ be an $n$-dimensional manifold, and $\mathbf{N}$ a submanifold of $\mathbf{M}$ of dimension $k$. Sufficient conditions are given for: 1) the restriction to $\mathbf{N}$ of any potential of order $\alpha$ on $\mathbf{M}$ to be a potential of order $\alpha -\frac{n-k}{2}$ on $\mathbf{N}$ ; 2) any potential of order $\alpha -\frac{n-k}{2}$ on $\mathbf{N}$ to be extendable to a potential of order $\alpha$ on $\mathbf{M}$. It is also proved that for a bordered manifold $\mathbf{M}$ the restriction to its interior ${\mathbf{M}}^i$ is an isometric isomorphism between the...

Dans cette partie de la théorie des potentiels besseliens on considère les restrictions de potentiels de la classe $P^a(R^n)$ aux domaines ouverts $D\subset R^n$. On cherche à caractériser de manière intrinsèque la classe $P^a\left(D\right)$ ainsi obtenue. On attaque ce problème en définissant de manière directe (§ 2) une classe ${\check{P}}^a\left(D\right)\subset P^a\left(D\right)$ qui, pour des domaines assez réguliers, est égale à $P^a\left(D\right)$. L’égalité $P^a\left(D\right)=P^a\left(D\right)$ est équivalente à l’existence d’un opérateur-extension $E:{\check{P}}^a\left(D\right)\to P^a(R^n)$, linéaire et continu, tel que $Eu$ soit une extension de $u$. Si...

A technique is developed for constructing the solution of ${\Delta }^{2}u=F$ in $R=\left\{\right(x,y):|x|\<a,|y|\<b\}$, subject to boundary conditions $u=\phi$, $\frac{\partial u}{\partial n}=\psi$ on $\partial R$. The problem is reduced to that of finding the orthogonal projection $Pw$ of $w$ in $L^2\left(R\right)$ onto the subspace $\mathbf{H}$ of square integrable functions harmonic in $\mathbf{R}$. This problem is solved by decomposition $\mathbf{H}$ into the closed direct (not orthogonal) sum of two subspaces ${\mathbf{H}}^{\left(1\right)},{\mathbf{H}}^{\left(2\right)}$ for which complete orthogonal bases are known. $P$ is expressed in terms of the projections $P^{\left(1\right)}$, $P^{\left(2\right)}$ of $L^2\left(R\right)$ onto ${\mathbf{H}}^{\left(1\right)}$, ${\mathbf{H}}^{\left(2\right)}$ respectively. The resulting construction...