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Le système AutoGraphiX (AGX1 et AGX2) permet, parmi d’autres fonctions, la génération automatique de conjectures en théorie des graphes et, dans une version plus récente, la preuve automatique de conjectures simples. Afin d’illustrer ces fonctions et le type de résultats obtenus, nous étudions systématiquement ici des conjectures obtenues par ce système et de la forme ${\underline{b}}_n\le g\oplus i\le {\overline{b}}_n$ où $g$ désigne la maille (ou longueur du plus petit cycle) du graphe $G=(V,E)$, $i$ un autre invariant choisi parmi le nombre de stabilité,...

The distance Laplacian of a connected graph $G$ is defined by $ℒ=\mathrm{Diag}\left(\mathrm{Tr}\right)-𝒟$, where $𝒟$ is the distance matrix of $G$, and $\mathrm{Diag}\left(\mathrm{Tr}\right)$ is the diagonal matrix whose main entries are the vertex transmissions in $G$. The spectrum of $ℒ$ is called the distance Laplacian spectrum of $G$. In the present paper, we investigate some particular distance Laplacian eigenvalues. Among other results, we show that the complete graph is the unique graph with only two distinct distance Laplacian eigenvalues. We establish some properties of the distance...

Le système AutoGraphiX (AGX1 et AGX2) permet, parmi d'autres fonctions, la génération automatique de conjectures en théorie des graphes et, dans une version plus récente, la preuve automatique de conjectures simples. Afin d'illustrer ces fonctions et le type de résultats obtenus, nous étudions systématiquement ici des conjectures obtenues par ce système et de la forme ${\underline{b}}_n\le g\oplus i\le {\overline{b}}_n$ où désigne la maille (ou longueur du plus petit cycle) du graphe , un autre invariant choisi parmi le nombre de stabilité,...

The AutoGraphiX 2 system is used to compare the index of a connected graph G with a number of other graph theoretical invariants, i.e., chromatic number, maximum, minimum and average degree, diameter, radius, average distance, independence and domination numbers. In each case, best possible lower and upper bounds, in terms of the order of G, are sought for sums, differences, ratios and products of the index and another invariant. There are 72 cases altogether: in 7 cases known results were reproduced,...

On étudie à l'aide du système AutoGraphiX 2 (AGX 2) des relations de la forme $${\underline{b}}_n\le g\oplus i\le {\overline{b}}_n$$ où désigne la maille d'un graphe , un autre invariant parmi la distance moyenne $\overline{l}$, l'index λ, l'indice de Randić et le nombre de domination , $\oplus$ désigne l'une des opérations +, -, ×, /, ${\underline{b}}_n$ et ${\overline{b}}_n$ des fonctions de l'ordre du graphe qui bornent l'expression $g\oplus i$ et sont atteintes pour tout (sauf éventuellement de très petites valeurs du fait des effets de bord). Les résultats prouvés ou discutés ci-dessous ont déjà été...