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We develop a procedure that allows us to “descretise” the Brownian motion on a Riemannian manifold. We construct thus a random walk that is a good approximation of the Brownian motion.

We study Banach algebras that are quotients of uniform algebras and we show in particular that the class is stable by interpolation. We also show that ${\ell }^p$, $(1\le p\le \infty )$ are $Q$ algebras and that $A_n=ℨL^1(\mathbf{Z};1+|n{|}^{\alpha })$ is a $Q$-algebra if and only if $\alpha \>1/2$.

The Riesz transforms of a positive singular measure $\nu \in M\left({\mathbf{R}}^n\right)$ satisfy the weak type inequality $$m\left[\sum _{j=1}^n|R_j\nu |\>\lambda \right]\ge \frac{C\parallel \nu \parallel }{\lambda },\lambda \>0$$ where $m$ denotes Lebesgue measure and $C$ is a positive constant only depending on $m$.

Une décomposition directe de $M\left(G\right)$ [resp. $M_c\left(G\right)$; $M_0\left(G\right)$], algèbre des mesures d’un groupe localement compact $G$ [resp. mesures diffuses ; mesures dont la transformée de Fourier s’annule à l’infini] est obtenue ; l’application principale de cette décomposition est de démontrer que $M_c\ne \overline{M_c^2}$ et que $\overline{M_c^2}\ne M_0$.

Dans tout groupe abélien localement compact $G$, il existe une mesure de Radon dont la transformée de Fourier tend vers zéro à l’infini et dont le support engendre dans $G$ un sous-groupe de mesure de Haar nulle.

Soit $A$ une algèbre uniforme et soit $I$ un idéal fermé de $A$ tel que $A/I$ soit une algèbre isométriquement isomorphe à $C\left(X\right)$, il existe alors une sous-algèbre fermée $B\subset A$ telle que $A$ est isométriquement isomorphe à $I\oplus B$.

In this paper I consider $\tilde{M}\to M$ a covering of a Riemannian manifold $M$. I prove that Green’s function exists on $\tilde{M}$ if any and only if the symmetric translation invariant random walks on the covering group $G$ are transient (under the assumption that $M$ is compact).