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A remark on the value of a potential with punctual polar support in its pole in axiomatic theory.

Dans le cadre de l’axiomatique de M. Brelot, et en utilisant la théorie des fonctions harmoniques adjointes de Madame R.M. Hervé, on caractérise la propriété de quasi-analycité notée $A^{*}$ : toute fonction harmonique adjointe dans un domaine est nulle dès qu’elle est nulle au voisinage d’un point. On montre que $A^{*}$ est équivalente à une propriété d’approximation de toute fonction réelle finie continue sur les frontières d’ouverts relativement compacts. Cette approximation est réalisée à l’aide de différences...

Si $L$ et $M$, $L\subset M$ sont deux sous-espaces d’un espace adapté de fonctions numériques continues au sens de Choquet, on donne un théorème de densité de $L$ dans $M$ du type “Stone-Weierstrass”. Application à la théorie axiomatique des fonctions harmoniques.

Soit $\mu$ une mesure gaussienne sur un espace localement convexe $E$. On donne un nouveau point de vue sur le premier espace de Sobolev $W(E,\mu )$ construit sur $E$ et $\mu$. La différentielle $f^{\text{'}}$ de $f\in W(E,\mu )$ est une fonction de deux variables $(x,y)\in E\times E$, “quasi-linéaire” dans la seconde variable. La différentielle d’une intégrale stochastique est une intégrale stochastique sur $E\times E$ muni de $\mu \times \mu$. On montre que la “procapacité gaussienne” naturelle est une vraie capacité si $E$ est un espace de Banach ou de Fréchet ou...

On étudie les espaces de Sobolev $W^{r,p}(E,\mu )$ construits sur un espace localement convexe $E$ muni d’une mesure gaussienne centree $\mu$. Si $\mu$ est de Radon, on démontre que les capacités naturelles $c_{r,p}$ sont tendues sur les compacts. Cela résulte d’un principe général relatif aux quasi-normes. On s’intéresse également aux fonctions quasi-continues a valeurs banachiques, ce qui est utile pour les propriétés de Nikodym, et à des applications à la continuité des trajectoires des intégrales stochastiques.

On montre que les solutions faibles de l’équation $\Delta u-u\mu =0$, où $\mu$ est une mesure positive négligeant les polaires, vérifient une inégalité de Harnack. On s’occupe également des sursolutions dont on fait la représentation intégrale a l’aide d’une fonction de Green. Comme les solutions sont discontinues, on est amené à utiliser les formules probabilistes.

Soit $\mathbf{F}$ le faisceau des sursolutions variationnelles d’un opérateur différentiel elliptique du second ordre à coefficients ${\mathbf{L}}_{\mathrm{loc}}^{\infty }$. Soit $\widehat{\mathbf{F}}$ le faisceau des régularitées essentielles inférieures des éléments de $\mathbf{F}$. On démontre que $\widehat{\mathbf{F}}$ est contenu dans un seul préfaisceau ${\mathbf{F}}^{*}$ maximal de cônes convexes de fonctions s.c.i. $\>-\infty$ vérifiant le principe du minimum sur une base d’ouverts suffisamment petits. On démontre que ${\mathbf{F}}^{*}$ possède toutes les bonnes propriétés d’une théorie locale du potentiel.

On montre que le faisceau $ℱ$ des sursolutions locales dans $W_{\mathrm{loc}}^2$ d’un certain opérateur elliptique $L$ est maximal pour un principe du minimum adapté aux espaces de Sobolev. La continuité de la réduite variationnelle des éléments continus permet alors d’étudier des représentants s.c.i.

Nous commençons par définir la notion d’espaces ${\mathbf{L}}^1\left(\gamma \right)$ où $\gamma$ est une capacité, ce qui permet d’introduire la notion de mesure d’énergie finie par rapport à $\gamma$, et de parler d’espaces de Dirichlet basés sur $\gamma$. Soit d’autre part un espace de Dirichlet en ce sens avec potentiels s.c.i. : on étudie les espaces de Dirichlet sur les ouverts fins correspondants à l’aide d’une compactification. On retrouve plus facilement et on généralise les résultats de D. Feyel et A. de La Pradelle, (Lecture Notes)....

Le faisceau des fonctions hyperharmoniques dans les ouverts de ${\mathbf{R}}^n$ vérifie le principe du minimum et est maximal parmi les faisceaux de cônes convexes de fonctions s.c.i. $\>-\infty$ vérifiant ce principe du minimum. On se donne plus généralement un espace localement $\Omega$ dans lequel on définit différents principes du minimum, et on étudie la donnée d’un faisceau de cônes convexes de fonctions s.c.i. $\>-\infty$ qui soit maximal par rapport à l’un de ces principes. On montre ainsi comment on peut...