J’illustre la situation générale par un exemple simple, qui permet de mieux comprendre la géométrie de l’espace des domaines de Voronoï. Ensuite, je donne des résultats généraux sur les arêtes d’un domaine de Voronoï. Finalement, pour les représentants des 15 classes connues de formes parfaites à 7 variables, non équivalentes à et qui possèdent plus de 28 vecteurs minimaux, je fournis une description détaillée de leurs orbites de voisines.
Un article précédent paru dans le Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux contient une description détaillée des orbites de voisines pour les représentants des 15 classes de formes parfaites à 7 variables, non équivalentes à et qui possèdent plus de 28 vecteurs minimaux. Le lecteur trouvera ici le résultat correspondant pour , ainsi qu’une description plus détaillée des voisines de . Ceci termine la classification des formes parfaites en dimension 7. Un premier pas en direction de la classification...
Dans cet article, nous allons démontrer qu’étant donné , un sous-groupe fini de , il n’y a, à -équivalence près, qu’un nombre fini de formes -parfaites (resp. -eutactiques, -extrêmes).
Le lecteur trouvera ici une description détaillée des méthodes et algorithmes utilisés pour démontrer qu’il n’y a que 33 classes de formes parfaites en dimension 7, ainsi qu’un tableau récapitulatif des résultats.
Il trouvera, en particulier, une généralisation de l’algorithme de Voronoï appliquée en profondeur, récursivement, aux faces des domaines
1. Introduction. On doit à G. Voronoï [Vo] un algorithme de classification complète des formes quadratiques parfaites. Il est dès lors possible, en principe, de déterminer en un temps fini la constante d'Hermite γₙ, qui décrit dans ℝⁿ la densité maximale des empilements de sphères en réseau.
L'énorme complexité de l'algorithme lui donne une limite naturelle: il semble actuellement impensable de dépasser la dimension 8, où les explorations ont déjà fourni des milliers de formes...
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