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Para 0 < β < 1 consideramos la ecuación -Δu = χ (-u + λf(x, u)) en Ω­ con condición de borde tipo Dirichlet. Esta ecuación posee una solución maximal u ≥ 0 para todo λ > 0. Si λ es menor que una cierta constante λ*, u se anula en el interior del dominio creando una frontera libre, y para λ > λ* esta solución es positiva en Ω­ y estable. Establecemos la regularidad de u incluso en presencia de una frontera libre. Para λ ≥ λ* la solución del problema parabólico singular...

We consider functions $u\in W_0^{m,1}\left(\Omega \right)$, where $\Omega \subset {ℝ}^N$ is a smooth bounded domain, and $m\ge 2$ is an integer. For all $j\ge 0,1\le k\le m-1$, such that $1\le j+k\le m$, we prove that $\frac{{\partial }^{i}u\left(x\right)}{d{\left(x\right)}^{m-j-k}}\in W_0^{k,1}\left(\Omega \right)$ with $∥{\partial }^k{\left(\frac{{\partial }^{i}u\left(x\right)}{d{\left(x\right)}^{m-j-k}}\right)}_{L^1\left(\Omega \right)}\le C∥u∥{}_{W^{m,1}\left(\Omega \right)}$, where $d$ is a smooth positive function which coincides with dist$(x,\partial \Omega )$ near $\partial \Omega$, and ${\partial }^l$ denotes any partial differential operator of order $l$.