Sur la constante $C$ d’Euler

Paul Appell

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Sur la somme des quotients partiels du développement en fraction continue

D. Barbolosi, C. Faivre (2001)

Colloquium Mathematicae

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Let [0;a₁(x),a₂(x),…] be the regular continued fraction expansion of an irrational x ∈ [0,1]. We prove mainly that, for α > 0, β ≥ 0 and for almost all x ∈ [0,1], $l i m_{n \to \infty} (a ⁿ ₁ (x) + \dots + a ⁿ ₙ (x)) / n l o g n = α / l o g 2$ if α < 1 and β ≥ 0, $l i m_{n \to \infty} (a ⁿ ₁ (x) + \dots + a ⁿ ₙ (x)) / n l o g n = 1 / l o g 2$ if α = 1 and β < 1, and, if α > 1 or α = 1 and β >1, $l i m i n f_{n \to \infty} (a ⁿ ₁ (x) + \dots + a ⁿ ₙ (x)) / n l o g n = 1 / l o g 2$ , $l i m s u p_{n \to \infty} (a ⁿ ₁ (x) + \dots + a ⁿ ₙ (x)) / n l o g n = \infty$ , where $a ⁿ_{i} (x) = a_{i} (x)$ if $a_{i} (x) \leq n^{α} l o g^{β} n$ and $a ⁿ_{i} (x) = 0$ otherwise, for all i ∈ 1,…,n.

Sur une équation de Langmuir généralisée

René Gosse (1949)

Annales de l'institut Fourier

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Cet article posthume extrait de notes ou brouillons par E. Cotton concerne, pour les équations de la forme $y^{''} + y^{'} p (x, y, y^{'}) + q (x) \frac{d a (y)}{d y} = f (y),$ la solution définie par les conditions initiales $x = x_{0}$ , $y = y_{0}$ , $y^{'} = 0$ . Après avoir énoncé des hypothèses concernant les fonctions $p, q, a, f$ , l’auteur montre que toute solution qui passe par un minimum pour $x = x_{0}$ , reste supérieure à ce minimum pour $x > x_{0}$ et que, dans ces mêmes conditions, $| y |$ et $| y^{'} |$ restent bornés. Enfin, lorsque $p$ a une borne inférieure positive, $y^{'}$ tend vers zéro avec...

Variantes sur un théorème de Candès, Romberg et Tao

Jean-Pierre Kahane (2013)

Annales de l’institut Fourier

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Le théorème CRT dit comment reconstruire un signal à partir d’un échantillonnage de fréquences parcimonieux. L’hypothèse sur le signal, considéré comme porté par un groupe cyclique d’ordre $N$ , est qu’il est porté par un petit nombre de points, $s$ , et la méthode est de choisir aléatoirement $C s log N$ fréquences et de minimiser dans l’algèbre de Wiener le prolongement à $ℤ / N ℤ$ de la transformée de Fourier du signal réduite à ces fréquences. Quand $C$ est grand, la probabilité de reconstruire le signal...

Calcul de $δ u_{0}, δ^{2} u_{0}, ..., δ^{n} u_{0}$ en fonction de $Δ u_{0}, Δ^{2} u_{0}, ..., Δ^{m} u_{0}$ , puis de $δ u_{1}, δ^{2} u_{2}, ..., δ^{n} u_{n}$ en fonction de $Δ u_{1}, Δ^{2} u_{2}, ..., Δ^{m} u_{m}$

H. Lemonnier (1861)

Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale

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Prolongements analytiques d’une classe de fonctions zêta des hauteurs et applications

D. Essouabri (2005)

Bulletin de la Société Mathématique de France

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Nous montrons dans la première partie l’existence d’un prolongement méromorphe à $ℂ$ et explicitons les propriétés et quelques conséquences, d’une large classe de séries zêta des hauteurs associées à l’espace projectif $ℙ_{n} (ℚ)$ $(n \geq 1)$ . Nous montrons dans la deuxième partie que, dans le cas du plan projectif éclaté en un point sur $ℚ$ , les fonctions zêta de hauteur associées aux fibrés en droite dont les classes sont à l’intérieur du cône des diviseurs effectifs possèdent...

Formules relatives à la fonction $Γ$

J. Ser (1925)

Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale

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Solutions classiques globales des équations d'Euler pour un fluide parfait compressible

Denis Serre (1997)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $ρ$ , $u$ , $e$ , $S$ et $p$ les variables usuelles qui décrivent l’état d’un fluide en coordonnées eulériennes. Le domaine physique occupé par le fluide est a priori $ℝ^{d}$ tout entier, mais $ρ$ peut être nul en dehors d’un compact $K (t)$ . On choisit l’équation d’état d’un gaz parfait, $p = (γ - 1) ρ e$ , où $γ \in [1, 1 + 2 / d]$ est une constante. Le cas $γ = 1 + 2 / d$ est celui du gaz mono-atomique. Dans la limite $ρ \to 0$ , les collisions sont rares et on est tenté d’approcher le mouvement des particules...

Note sur l’équation $z^{m} = {(1 - z)}^{m - 1}$

(1847)

Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale

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