Les équations d’Euler, des ondes et de Korteweg-de Vries comme limites asymptotiques de l’équation de Gross-Pitaevskii

Fabrice Béthuel; Raphaël Danchin; Philippe Gravejat; Jean-Claude Saut; Didier Smets

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Dans ce texte, notre but est de résoudre des équations d’ondes quasilinéaires pour des données initiales moins régulières que ce qu’impose les méthodes d’énergie. Ceci impose de démontrer des estimées de type Strichartz pour des opérateurs d’ondes à coefficients seulement lipschitziens.

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Cet exposé présente les résultats de l’article [] au sujet des ondes progressives pour l’équation de Gross-Pitaevskii : la construction d’une branche d’ondes progressives non constantes d’énergie finie en dimensions deux et trois par un argument variationnel de minimisation sous contraintes, ainsi que la non-existence d’ondes progressives non constantes d’énergie petite en dimension trois.

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Nous considérons dans cet article l’équation des ondes semilinéaire critique ${(N L W)}_{2^{*} - 1} \{\begin{matrix} □ u + {| u |}^{2^{*} - 2} u = 0 \\ u_{| t = 0} = u_{0} \\ \partial_{t} u_{| t = 0} = u_{1}, \end{matrix}$ posée dans tout l’espace $ℝ^{d}$ , avec $2^{*} = \frac{2 d}{d - 2} \cdot$ Shatah et Struwe [31] ont prouvé que si les données initiales sont d’énergie finie, c’est à dire si $(u_{0}, u_{1}) \in {\dot{H}}^{1} \times L^{2}$ , alors il existe une solution globale. Planchon [22] a montré que c’est aussi le cas pour certaines données initiales d’énergie infinie : il suffit que les données initiales soient de norme petite dans ${\dot{B}}_{2, \infty}^{1} \times {\dot{B}}_{2, \infty}^{0}$ . Nous construisons ici des solutions globales...