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Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne p -adique

Jérémy Le Borgne (2010)

Annales de l’institut Fourier

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Soit K un corps p -adique, G son groupe de Galois absolu et v la valuation sur C p . Dans sa démonstration du théorème d’Ax-Sen-Tate, Ax montre que si pour un A ∈ R , x ∈ C p vérifie v ( σ x - x ) ≥ A pour tout σ ∈ G , alors il existe y ∈ K tel que v ( x - y ) ≥ A - c , avec c = p / ( p - 1 ) 2 . Ax se pose la question de l’optimalité de la constante c , que nous étudions ici. En utilisant l’extension de K engendrée par les racines p m -es d’une uniformisante fixée de K , nous déterminons la constante optimale, ainsi que des informations supplémentaires sur les x ∈ C p tels...

Gradient horizontal de fonctions polynomiales

Si Tiep Dinh, Krzysztof Kurdyka, Patrice Orro (2009)

Annales de l’institut Fourier

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Nous étudions les trajectoires du gradient sous-riemannien (appellé horizontal) de fonctions polynômes. Dans ce cadre l’inégalité de Łojasiewicz n’est pas valide et une trajectoire du gradient horizontal peut être de longueur infinie, et peut même s’accumuler sur une courbe fermée. Nous montrons que ces comportement sont exceptionnels ; et que, pour une fonction générique les trajectoires de son gradient horizontal ont des propriétés similaires au cas du gradient riemannien. Pour obtenir...

Existence et équidistribution des matrices de dénominateur n dans les groupes unitaires et orthogonaux

Antonin Guilloux (2008)

Annales de l’institut Fourier

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Soit G un groupe défini sur les rationnels, simplement connexe, ℚ -quasisimple et compact sur ℝ . On étudie des suites de sous-ensembles des points rationnels de G définis par des conditions sur leur projection dans le groupe des adèles finies de G . Nous montrons dans ce cadre un résultat d’équirépartition vers la probabilité de Haar sur le groupe des points réels. On utilise pour cela des propriétés de mélange de l’action du groupe des points adéliques G ( 𝔸 ) sur l’espace L 2 ( G ( 𝔸 ) / G ( ℚ ) ) . Pour illustrer...

Pincement de la première valeur propre du laplacien pour les hypersurfaces et rigidité

Julien Roth (2007-2008)

Séminaire de théorie spectrale et géométrie

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Robert C. Reilly a obtenu des majorations de la première valeur propre du laplacien pour les hypersurfaces de l’espace euclidien. De plus, il a montré que le cas d’égalité dans ces majorations est atteint uniquement pour les sphères géodésiques. Dans cet exposé, nous nous intéressons au problème de pincement pour ces majorations. Nous montrons que si le cas d’égalité est presque atteint, alors l’hypersurface est proche d’une sphère, en un sens que nous préciserons. Nous déduisons ensuite...