Nous généralisons à certains quotients finis d’un $\Lambda$-module noethérien non nécessairement de torsion le classique théorème d’Iwasawa sur l’expression asymptotique du $\ell$-nombre de classes dans les ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-extensions. Puis nous illustrons les résultats obtenus en déterminant explicitement les caractères invariants attachés aux $\ell$-groupes de $S$-classes $T$-infinitésimales dans une tour cyclotomique à partir de quelques paramètres référents et de données galoisiennes simples des extensions considérées....

Pour $q\in ℂ$, $\left|q\right|\<1$, on définit la $q$-analogue de la fonction zeta de Riemann par les égalités ${\displaystyle {\zeta }_q\left(k\right)=\sum _{n\ge 1}{\sigma }_{k-1}\left(n\right)q^n=\sum _{n\ge 1}\frac{n^{k-1}{q}^n}{1-q^n}}$. Dans [8], W. Zudilin énonce deux questions à propos de ces fonctions de $q$. La première concerne l’indépendance linéaire sur $ℂ\left(q\right)$ des fonctions ${\zeta }_q\left(k\right)$, pour $k\ge 1$, et la seconde l’indépendance algébrique sur $ℂ\left(q\right)$ des fonctions ${\zeta }_q\left(2\right),{\zeta }_q\left(4\right),{\zeta }_q\left(6\right)$, et des fonctions ${\zeta }_q(2k+1)$, $k\ge 0$. Dans [5], Y. Pupyrev répond positivement à la première question, et donne des résultats partiels pour la seconde. Dans cet article, nous considérons...

Soient $G$ une variété de groupe définie sur le corps $\bar{\mathbf{Q}}$ des nombres algébriques, et $\phi :{\mathbf{C}}^n\to G_{\mathbf{C}}$ un sous-groupe à $n$ paramètres de $G$, de dimension algébrique $d$. Nous nous proposons de majorer le rang $\ell$ (sur $\mathbf{Z}$) des sous-groupes $\Gamma$ de ${\mathbf{C}}^n$ dont l’image par $\phi$ est contenue dans le groupe $G_{\bar{\mathbf{Q}}}$ des points algébriques de $G$. E. Bombieri et S. Lang ont déjà obtenu de telles majorations, en supposant que les points de $\Gamma$ sont très bien distribués : pour $d\ge n+1$, on a $\ell \le n^2+3n$ pour des variétés linéaires, et $\ell \le 2n^2+4n$ pour des...

L’auteur développe et complète une note sommaire sur l’approximation par des fonctions harmoniques (Bull. Soc. Math. de France, 73 (1945)). Considérons dans l’espace euclidien ${\mathbf{R}}^m$ $(m\ge 2)$ le point courant $x$ à distance $\left|x\right|$ de l’origine, un compact $E$ et la fonction harmonique fondamentale $h\left(x\right)$ valant $-log\left|x\right|$ $(m=2)$ ou $|x{|}^{2-m}$ $(m\>2)$. Si $H_n$ est tout polynôme harmonique homogène de degré $n$, on pose $${\Phi }_n^a\left(x\right)=\frac{H_n(x-a)}{|x-a{|}^{2n+m-2}}(n\ge 1),{\Phi }_0^a\left(x\right)=H_{0}h(x-a)(H_0=C^{\mathrm{te}})$$ et ${\Phi }_n^{\infty }\left(x\right)=H_n\left(x\right)$ $(n\ge 0)$. L’auteur caractérise de diverses...

Un domaine $\Omega$ simplement connexe est dit régulier s’il vérifie la condition suivante : il existe $\exists \mathbf{C}\>0,\forall z_0\in \mathbf{C},\forall r\>0,{𝒦}^1(\partial \Omega \cap \{|z-z_0|\<r\})\le Cr,$ où ${\mathscr{H}}^1$ désigne la mesure de Hausdorff 1-dimensionnelle. On appelle $X$ l’ensemble des couples ($\Phi$,$\Omega )$, où $\Omega$ est un domaine régulier, et $\Phi$ une représentation conforme de ${\mathbf{R}}_{+}^2$ sur $\Omega$. $X_0$ est l’ensemble des ($\Phi$,$\Omega )$ appartenant à $X$ tels que $\Omega$ soit un domaine de Lavrentiev. On pose $$\widetilde{𝒟}=\{log{\Phi }^{\text{'}};(\Phi ,\Omega )\in X\}\text{et}\widetilde{ℒ}=\{Log{\Phi }^{\text{'}};(\Phi ,\Omega )\in X_0\}.$$ Nous montrons que $\widetilde{𝒟}$ est inclus dans $BMOA\left({\mathbf{R}}_{+}^2\right)$ et que $\widetilde{ℒ}$ est l’intérieur de $\widetilde{𝒟}$ dans cet espace. Nous montrons de...