Let $K$ be a biquadratic field, $K_2^{\left(1\right)}$ be the Hilbert $2$-class field of $K$ and $K_2^{\left(2\right)}$ be the Hilbert $2$-class field of $K_2^{\left(1\right)}$. Our goal is to prove that there exists a biquadratic field $K$ such that $Gal(K_2^{\left(1\right)}/K)\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ and the group $Gal(K_2^{\left(2\right)}/K)$ is semi-dihedral. Résumé. Soient $K$ un corps biquadratique, $K_2^{\left(1\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $K$ et $K_2^{\left(2\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $K_2^{\left(1\right)}$. Notre but est de prouver qu’il existe des corps biquadratiques réels $K$ tels que le groupe $Gal(K_2^{\left(1\right)}/K)$ est de type $(2,2)$ et le groupe $Gal(K_2^{\left(2\right)}/K)$ est semi-diédral.

Soit $N$ une extension cyclique $\ell$-primaire d’un corps de nombres $K$. On suppose que $N$ est métabélienne sur un sous-corps $H$ d’indice $n$ dans $K$, pour un $n$ étranger à $\ell$ ; on note $G$ son groupe de Galois de $T$ un relèvement dans $G$ du quotient Gal$(K/H)$. On étudie la structure galoisienne des groupes de $\ell$-classes de $N$ et on s’intéresse en particulier à leurs $\psi$-composantes, lorsque $\psi$ parcourt le groupe des caractères $\ell$-adiques irréductibles de $T$. Le choix d’un générateur convenable $\theta$ dans l’idéal d’augmentation...

Soit $K$ une extension cyclique réelle de degré 4 de $\mathbf{Q}$ de sous-corps quadratique $k$. Nous déterminons le nombre de classes et les unités de $K$ puis nous montrons que le problème de la “capitulation” de classes de $k$ dans $K$ est caractérisé par des propriétés élémentaires des unités de $K$. Nous avons obtenu une table numérique du nombre de classes, des unités ainsi que de l’éventuelle “capitulation” d’une classe, pour tous les corps $K$ de conducteur $f\<4000$ ; nous en publions ici un extrait. ...

Suite aux travaux de R. Schoof et de H.W. Lenstra–R. Schoof, nous donnons une méthode permettant de trouver, pour tout $p$ premier ne divisant pas $[F:\mathbb{Q}]$, un système de générateurs du $p$-groupe des classes relatives du corps abélien imaginaire $F$, ceci avec la seule connaissance de nombres de Bernoulli $B_1({\psi }^{-1})$. Des exemples numériques sont donnés pour $p=3$ et $p=5$, dans le cadre des extensions cycliques de degré 2 et 4. Le premier exemple de $p$-groupe des classes possédant une $\chi$-composante non monogène (pour...

Soit $\ell$ un nombre premier impair. Soit $K$ une extension abélienne réelle de $\mathbf{Q}$ de degré premier à $\ell$ et soit $G$ son groupe de Galois; soit $\phi$ ($\phi \ne 1$) un caractère $\ell$-adique irréductible de $K$. Soit $M$ la $\ell$-extension abélienne maximale de $K$ non ramifiée en dehors de $\ell$ et soit $𝒜$ le ${\mathbf{Z}}_{\ell }\left[G\right]$-module Gal$(M/K)$ ; ${𝒜}^{\phi }$ (la $\phi$-composante de $𝒜$) est un module fini sur l’anneau des entiers ${\mathbf{Z}}_{\ell }^{{\psi }^{\text{'}}}$ de ${\mathbf{Q}}_{\ell }^{{\psi }^{\text{'}}}$ (corps des valeurs sur ${\mathbf{Q}}_{\ell }$ d’un caractère ${\psi }^{\text{'}}$ de degré 1 divisant $\phi$). On construit explicitement pour tout $n\ge 0$ un élément ${𝒮}_n$ de ${\mathbf{Z}}_{\ell }^{{\psi }^{\text{'}}}$ qui annule...