Viene dimostrata l'esistenza di soluzioni del problema di Darboux per l'equazione iperbolica $z_{xy}^{\mathrm{\prime \prime }}=f(x,y,z,Z_x^{\prime },z_y)$ sul planiquarto $x\ge 0$, $y\ge 0$. Qui, $f$ è una funzione continua, con valori in uno spazio Banach che soddisfano alcune condizioni di regolarità espresse in termini della misura di non-compattezza $\alpha$.

Si studiano le proprietà delle soluzioni dell'equazione semilineare astratta $u^{\prime }(t)=\mathrm{\Lambda }u(t)+\phi (t,u(t))$ quando $\mathrm{\Lambda }$ è il generatore infinitesimale di un semigruppo analitico in uno spazio di Banach. Vengono provati nuovi teoremi di regolarità anche nel caso in cui $\phi$ non è continuo in tutto lo spazio.

Vengono dati nuovi teoremi di regolarità per le soluzioni dell'equazione $u^{\prime }(t)=\mathrm{\Lambda }u(t)+f(t)$ nel caso in cui $\mathrm{\Lambda }$ è il generatore infinitesimale di un semigruppo analitico in uno spazio di Banach $E$ e $f$ è una funzione continua.

Vengono dati nuovi teoremi di regolarità per le soluzioni dell'equazione $u^{\prime }(t)=\mathrm{\Lambda }u(t)+f(t)$ nel caso in cui $\mathrm{\Lambda }$ è il generatore infinitesimale di un semigruppo analitico in uno spazio di Banach $E$ e $f$ è una funzione continua.

Si studiano esistenza, unicità e regolarità delle soluzioni strette, classiche e forti dell’equazione di evoluzione non autonoma $u^{\prime }(t)\mathrm{—}A(t)u(t)=f(t)$, con il dato iniziale $u(0)=x$, in spazi di Banach. I dominii degli operatori $A(t)$ variano in $t$ e non sono necessariamente densi in $E$. Si danno condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza e la regolarità holderiana della soluzione e della sua derivata.

Si studiano le proprietà delle soluzioni dell'equazione semilineare astratta $u^{\prime }(t)=\mathrm{\Lambda }u(t)+\phi (t,u(t))$ quando $\mathrm{\Lambda }$ è il generatore infinitesimale di un semigruppo analitico in uno spazio di Banach. Vengono provati nuovi teoremi di regolarità anche nel caso in cui $\phi$ non è continuo in tutto lo spazio.

Si studiano esistenza, unicità e regolarità delle soluzioni strette, classiche e forti dell’equazione di evoluzione non autonoma $u^{\prime }(t)\mathrm{—}A(t)u(t)=f(t)$, con il dato iniziale $u(0)=x$, in spazi di Banach. I dominii degli operatori $A(t)$ variano in $t$ e non sono necessariamente densi in $E$. Si danno condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza e la regolarità holderiana della soluzione e della sua derivata.

We consider elementary operators $x\mapsto {\sum }_{j=1}^n{a}_{j}x{b}_j$, acting on a unital Banach algebra, where $a_j$ and $b_j$ are separately commuting families of generalized scalar elements. We give an ascent estimate and a lower bound estimate for such an operator. Additionally, we give a weak variant of the Fuglede-Putnam theorem for an elementary operator with strongly commuting families $a_j$ and $b_j$, i.e. $a_j=a_j^{\text{'}}+i{a}_j^{\text{'}\text{'}}$ ($b_j=b_j^{\text{'}}+i{b}_j^{\text{'}\text{'}}$), where all $a_j^{\text{'}}$ and $a_j^{\text{'}\text{'}}$ ($b_j^{\text{'}}$ and $b_j^{\text{'}\text{'}}$) commute. The main tool is an L¹ estimate of the Fourier transform of a certain class...

Si studiano esistenza, unicità e regolarità delle soluzioni strette, classiche e forti $u\in 𝐂([0,T],E)$ dell'equazione di evoluzione non autonoma $u^{\prime }(t)-A(t)u(t)=f(t)$ con il dato iniziale $u(0)=x$, in uno spazio di Banach $E$. Gli operatori $A(t)$ sono generatori infinitesimali di semi-gruppi analitici ed hanno dominio indipendente da $t$ e non necessariamente denso in $E$. Si danno condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza e la regolarità hölderiana della soluzione e della sua derivata.

In this paper, we study a model for the magnetization in thin ferromagnetic films. It comes as a variational problem for $S^1$-valued maps $m^{\text{'}}$ (the magnetization) of two variables $x^{\text{'}}$: $E_{\epsilon }\left(m^{\text{'}}\right)=\epsilon \int {|{\nabla }^{\text{'}}·m^{\text{'}}|}^{2}d{x}^{\text{'}}+\frac{1}{2}\int {\left||{\nabla }^{\text{'}}{|}^{-1/2}{\nabla }^{\text{'}}·m^{\text{'}}\right|}^{2}d{x}^{\text{'}}$. We are interested in the behavior of minimizers as $\epsilon \to 0$. They are expected to be $S^1$-valued maps $m^{\text{'}}$ of vanishing distributional divergence ${\nabla }^{\text{'}}·m^{\text{'}}=0$, so that appropriate boundary conditions enforce line discontinuities. For finite $\epsilon >0$, these line discontinuities are approximated by smooth transition layers, the so-called Néel...

Si studiano esistenza, unicità e regolarità delle soluzioni strette, classiche e forti $u\in 𝐂([0,T],E)$ dell'equazione di evoluzione non autonoma $u^{\prime }(t)-A(t)u(t)=f(t)$ con il dato iniziale $u(0)=x$, in uno spazio di Banach $E$. Gli operatori $A(t)$ sono generatori infinitesimali di semi-gruppi analitici ed hanno dominio indipendente da $t$ e non necessariamente denso in $E$. Si danno condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza e la regolarità hölderiana della soluzione e della sua derivata.

For a double complex $(A,d^{\text{'}},d^{\text{'}\text{'}})$, we show that if it satisfies the $d^{\text{'}}{d}^{\text{'}\text{'}}$-lemma and the spectral sequence $\left\{E_r^{p,q}\right\}$ induced by $A$ does not degenerate at $E_0$, then it degenerates at $E_1$. We apply this result to prove the degeneration at $E_1$ of a Hodge-de Rham spectral sequence on compact bi-generalized Hermitian manifolds that satisfy a version of $d^{\text{'}}{d}^{\text{'}\text{'}}$-lemma.

We determine the duals of the homogeneous matrix-weighted Besov spaces ${Ḃ}_p^{\alpha q}\left(W\right)$ and ${ḃ}_p^{\alpha q}\left(W\right)$ which were previously defined in [5]. If W is a matrix $A_p$ weight, then the dual of ${Ḃ}_p^{\alpha q}\left(W\right)$ can be identified with ${Ḃ}_{p^{\text{'}}}^{-\alpha q^{\text{'}}}\left(W^{-p^{\text{'}}/p}\right)$ and, similarly, $\left[{ḃ}_p^{\alpha q}\left(W\right)\right]*\approx {ḃ}_{p^{\text{'}}}^{-\alpha q^{\text{'}}}\left(W^{-p^{\text{'}}/p}\right)$. Moreover, for certain W which may not be in the $A_p$ class, the duals of ${Ḃ}_p^{\alpha q}\left(W\right)$ and ${ḃ}_p^{\alpha q}\left(W\right)$ are determined and expressed in terms of the Besov spaces ${Ḃ}_{p^{\text{'}}}^{-\alpha q^{\text{'}}}\left(A_Q^{-1}\right)$ and ${ḃ}_{p^{\text{'}}}^{-\alpha q^{\text{'}}}\left(A_Q^{-1}\right)$, which we define in terms of reducing operators ${A_Q}_Q$ associated with W. We also develop the basic theory of these reducing operator Besov spaces....

Let d be a positive integer and μ a generalized Cantor measure satisfying $\mu ={\sum }_{j=1}^m{a}_j\mu \circ S_j^{-1}$, where $0<a_j<1$, ${\sum }_{j=1}^m{a}_j=1$, $S_j=\rho R+b_j$ with 0 < ρ < 1 and R an orthogonal transformation of ${ℝ}^d$. Then ⎧1 < p ≤ 2 ⇒ ⎨$su{p}_{r>0}{r}^{d(1/{\alpha }^{\text{'}}-1/p^{\text{'}})}({\int }_{J_x^r}{\left|\mu ̂\left(y\right)\right|}^{p^{\text{'}}}{dy)}^{1/p^{\text{'}}}\le D₁{\rho }^{-d/{\alpha }^{\text{'}}}$, $x\in {ℝ}^d$, ⎩ p = 2 ⇒ infr≥1 rd(1/α’-1/2) (∫J₀r|μ̂(y)|² dy)1/2 ≥ D₂ρd/α’$,$where $J_x^r={\prod }_{i=1}^d(x_i-r/2,x_i+r/2)$, α’ is defined by ${\rho }^{d/{\alpha }^{\text{'}}}={\left({\sum }_{j=1}^m{a}_j^p\right)}^{1/p}$ and the constants D₁ and D₂ depend only on d and p.

Let A denote the space of all analytic functions in the unit disc Δ with the normalization f(0) = f’(0) − 1 = 0. For β < 1, let $P{⁰}_{\beta }=f\in A:Re{f}^{\text{'}}\left(z\right)>\beta ,z\in \Delta$. For λ > 0, suppose that denotes any one of the following classes of functions: $M_{1,\lambda }^{\left(1\right)}=f\in :Rez{\left(z{f}^{\text{'}}\left(z\right)\right)}^{\text{'}\text{'}}>-\lambda ,z\in \Delta$, $M_{1,\lambda }^{\left(2\right)}=f\in :Rez{\left(z²f^{\text{'}\text{'}}\left(z\right)\right)}^{\text{'}\text{'}}>-\lambda ,z\in \Delta$, $M_{1,\lambda }^{\left(3\right)}=f\in :Re1/2{\left(z{\left(z²f^{\text{'}}\left(z\right)\right)}^{\text{'}\text{'}}\right)}^{\text{'}}-1>-\lambda ,z\in \Delta$. The main purpose of this paper is to find conditions on λ and γ so that each f ∈ is in ${}_{\gamma }$ or ${}_{\gamma }$, γ ∈ [0,1/2]. Here ${}_{\gamma }$ and ${}_{\gamma }$ respectively denote the class of all starlike functions of order γ and the class of all convex functions of order γ. As a consequence, we obtain...

Siano: $S$ una superficie algebrica proiettiva complessa non singolare, $K$ un divisore canonico ed $H$ un divisore molto ampio su $S$. Questo lavoro ha per oggetto lo studio dell'indice di autointersezione ${(K+H)}^2$. Si dimostra, innanzitutto, la disuguaglianza $${(K+H)}^2\ge 0$$, nell'ipotesi che la superficie $S^{\prime }$ ottenuta immergendo $S$ mediante il sistema lineare completo $|H|$ non sia uno scroll. Questa disuguaglianza è connessa con alcuni risultati di Sommese e Van de Ven sulla generazione del fascio ${𝒪}_s(K+H)$. La dimostrazione...

In applying control (or feedback) theory to (mechanic) Lagrangian systems, so far forces have been generally used as values of the control $u(\cdot )$. However these values are those of a Lagrangian co-ordinate in various interesting problems with a scalar control $u=u(\cdot )$, where this control is carried out physically by adding some frictionless constraints. This pushed the author to consider a typical Lagrangian system $\mathrm{\Sigma }$, referred to a system $\chi$ of Lagrangian co-ordinates, and to try and write some handy...

Se $A$ è un operatore in uno spazio di Hilbert e $V$ è un sotto insieme di questo spazio, in molti problemi si è indotti a modificare $A$ sul «bordo» di $V$ in modo da ottenere un operatore $A$ tale che le soluzioni dell'equazione differenziale associata $$0\in U^{\prime }+\tilde{A}(U)$$ non escano da $V$. Se $V$ non è convesso, l'operatore $A$ non rientra nei casi classici esaminati, ad esempio, in [1]. In questo lavoro introduciamo alcune classi di operatori che contengono, in qualçhe caso significativo, quelli del genere sopra...

Se $A$ è un operatore in uno spazio di Hilbert e $V$ è un sotto insieme di questo spazio, in molti problemi si è indotti a modificare $A$ sul «bordo» di $V$ in modo da ottenere un operatore $A$ tale che le soluzioni dell'equazione differenziale associata $$0\in U^{\prime }+\tilde{A}(U)$$ non escano da $V$. Se $V$ non è convesso, l'operatore $A$ non rientra nei casi classici esaminati, ad esempio, in [1]. In questo lavoro introduciamo alcune classi di operatori che contengono, in qualçhe caso significativo, quelli del genere sopra...

Siano: $S$ una superficie algebrica proiettiva complessa non singolare, $K$ un divisore canonico ed $H$ un divisore molto ampio su $S$. Questo lavoro ha per oggetto lo studio dell'indice di autointersezione ${(K+H)}^2$. Si dimostra, innanzitutto, la disuguaglianza $${(K+H)}^2\ge 0$$, nell'ipotesi che la superficie $S^{\prime }$ ottenuta immergendo $S$ mediante il sistema lineare completo $|H|$ non sia uno scroll. Questa disuguaglianza è connessa con alcuni risultati di Sommese e Van de Ven sulla generazione del fascio ${𝒪}_s(K+H)$. La dimostrazione...

Denote by any set of cardinality continuum. It is proved that a Banach algebra A with the property that for every collection $a_{\alpha }:\alpha \in \subset A$ there exist α ≠ β ∈ such that $a_{\alpha }\in a_{\beta }{A}^{}$ is isomorphic to ${⨁}_{i=1}^r(ℂ\left[X\right]/X^{d_i}ℂ\left[X\right])\oplus E$, where $d₁,...,d_r\in \mathbb{N}$, and E is either $Xℂ\left[X\right]/X^{d₀}ℂ\left[X\right]$ for some d₀ ∈ ℕ or a 1-dimensional ${⨁}_{i=1}^rℂ\left[X\right]/X^{d_i}ℂ\left[X\right]$-bimodule with trivial right module action. In particular, ℂ is the unique non-zero prime Banach algebra satisfying the above condition.

A couple ($\sigma ,\tau$) of lower and upper slopes for the resonant second order boundary value problem $$x^{\text{'}\text{'}}=f(t,x,x^{\text{'}}),x\left(0\right)=0,x^{\text{'}}\left(1\right)={\int }_0^1{x}^{\text{'}}\left(s\right)\mathrm{d}g\left(s\right),$$ with $g$ increasing on $[0,1]$ such that ${\int }_0^{1}dg=1$, is a couple of functions $\sigma ,\tau \in C^1\left([0,1]\right)$ such that $\sigma \left(t\right)\le \tau \left(t\right)$ for all $t\in [0,1]$, $$\begin{array}{c}{\sigma }^{\text{'}}\left(t\right)\ge f(t,x,\sigma \left(t\right)),\sigma \left(1\right)\le {\int }_0^1\sigma \left(s\right)\mathrm{d}g\left(s\right),\\ {\tau }^{\text{'}}\left(t\right)\le f(t,x,\tau \left(t\right)),\tau \left(1\right)\ge {\int }_0^1\tau \left(s\right)\mathrm{d}g\left(s\right),\end{array}$$ in the stripe ${\int }_0^t\sigma \left(s\right)\mathrm{d}s\le x\le {\int }_0^t\tau \left(s\right)\mathrm{d}s$ and $t\in [0,1]$. It is proved that the existence of such a couple $(\sigma ,\tau )$ implies the existence and localization of a solution to the boundary value problem. Multiplicity results are also obtained.

Sia $K\subset \subset {ℝ}^n$ un compatto, $f\ge 0$ una funzione analitica all'intorno di $K$, ed $m$ la massima molteplicità in $K$ degli zeri di $f$; si prova che la potenza $f^{\lambda }$ ($\lambda \in ℂ$, $Re\lambda >\mathrm{—}\frac{1}{m}$) è integrabile in $K$. L'estensione meromorfa dell'applicazione $\lambda \to f^{\lambda }$ da $Re\lambda >0$ a tutto $ℂ$ (con valori in ${𝒟}^{\prime }(K)$ anziché in $L^1(K)$) era già stata provata in [1] e [2].

Si considera l’equazione astratta $B{A}_{1}u+A_{0}u=h$, dove $A_i$ $(i=0,1)$ e $B$ sono convenienti operatori lineari chiusi fra spazi di Banach, $A_i$ non è necessariamente invertibile, e $A_0$, $A_1$ non commutano con $B$. Si studiano esistenza ed unicità delle soluzioni. Si indicano alcune applicazioni a certe equazioni differenziali degeneri o singolari.

For the integral equation (1) below we prove the existence on an interval $J=[0,a]$ of a solution $x$ with values in a Banach space $E$, belonging to the class $L^p(J,E)$, $p>1$. Further, the set of solutions is shown to be a compact one in the sense of Aronszajn.

In this paper we give a recursive formula for the sequence of primes $\{p_n\}$ and apply it to find a necessary and sufficient condition in order that a prime number $p_{n+1}$ is equal to $p_n+2$. Applications of previous results are given to evaluate the probability that $p_{n+1}$ is of the form $p_n+2$; moreover we prove that the limit of this probability is equal to zero as $n$ goes to $\mathrm{\infty }$. Finally, for every prime $p_n$ we construct a sequence whose terms that are in the interval $[p_n^2-2,p_{n+1}^2-2[$ are the first terms of two twin primes. This...

Ogni spazio di Banach ha un sistema bibasico $(x_n,f_n)$ normalizzato; inoltre ogni successione $(x_n)$ uniformemente minimale appartiene ad un sistema biortogonale limitato $(x_n,f_n)$, dove $(f_n)$ è M-basica e normante.

In applying control (or feedback) theory to (mechanic) Lagrangian systems, so far forces have been generally used as values of the control $u(\cdot )$. However these values are those of a Lagrangian co-ordinate in various interesting problems with a scalar control $u=u(\cdot )$, where this control is carried out physically by adding some frictionless constraints. This pushed the author to consider a typical Lagrangian system $\mathrm{\Sigma }$, referred to a system $\chi$ of Lagrangian co-ordinates, and to try and write some handy...