Étant donné une fonction $w\left(x\right)\ge 0$ paire et continue, on se demande si une fonction entière $\phi \left(z\right)\not\equiv 0$ de type exponentiel $a$ existe telle que $\phi \left(x\right)\exp w\left(x\right)$ soit borné pour $-\infty \<x\<\infty$. L’existence d’une telle $\phi$ est équivalente à celle d’une fonction croissante $\rho \left(t\right)$ sur $[0,\infty )$ telle que $\rho \left(t\right)=\theta \left(t\right)$, que $\frac{\rho \left(t\right)}{t}\to \frac{a}{\pi }$ pour $t\to \infty$, et que $w\left(x\right)+{\infty }_0^{\infty }log|1-\frac{x^2}{t^2}|d\rho \left(t\right)\le C^{\mathrm{te}}$, $x\in \mathbf{R}$, pourvu que $w\left(x\right)$ satisfasse à une condition de régularité assez peu restrictive, décrite au début de l’article. On démontre que l’existence d’une telle $\rho$ est à son tour équivalente à ce que la fonction $\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\left|\Im z\right|}{|z-t{|}^2}w\left(t\right)dt-a\left|\Im z\right|$ admette Ce résultat...

Si l’on prend comme fonctions harmoniques les solutions locales de l’équation, les fonctions surharmoniques associées sont telles que les potentiels de support ponctuel donné sont proportionnels et que l’effilement ne dépend pas de l’opérateur $L$ ; on détermine aussi la plus grande minorante harmonique dans $\omega$ et $\in W^{1,2}\left(\omega \right)$.

Soit $\Omega$, ouvert de ${\mathbf{R}}^n$ et $f:\Omega \to \mathbf{R}$, continue. On dit qu’une majorante surharmonique de $f$ dans $\Omega$ est minimale si cette majorante surharmonique est harmonique dans l’ensemble (ouvert) où elle diffère de $f$. Beaucoup de propriétés de ces fonctions sont semblables à celles des fonctions harmoniques $\ge 0$ (lesquelles correspondent à $f=0$) ; par exemple la famille entière est uniformément équicontinue dans chaque partie compacte de $\Omega$, relativement à la structure uniforme de $\bar{\mathbf{R}}$. On traite le problème de Dirichlet :...

Les ensembles polaires dans ${\mathbf{C}}^n$, c’est-à-dire les ensembles où une fonction plurisousharmonique qui n’est pas $-\infty$ identiquement admet cette valeur, apparaissent comme des ensembles exceptionnels dans beaucoup de problèmes en analyse complexe. Par exemple, la croissance d’une fonction plurisousharmonique en une variable $y$ quand une autre variable $x$ est fixée est essentiellement la même pour tout $x$ sauf quand $x$ appartient à un ensemble polaire. Dans l’article un résultat très précis et général...

On étend au cas de $n$ variables la solution d’un problème de T. Carleman, et on l’applique à la définition de classes quasi-analytiques de fonctions dérivables $f(x_1,...,x_n).$ Parmi les classes définies sur un ouvert par les conditions $|D^{\left(\alpha \right)}f\le M_{\left(\alpha \right)},$ $\left(\alpha \right)$ indice de dérivation multiple, on caractérise celles, $C\left[M_{\left(\alpha \right)}\right]$, qui ne peuvent contenir de fonction $f\not\equiv 0$, à support compact. Extension aux classes définies à partir d’une suite $P\left[\frac{\partial }{\partial x_k}\right]\left(f\right)$ d’opérateurs polynômes différentiels, homogènes, à coefficients constants. ...

Le présent travail montre le rôle de la frontière de Martin dans deux questions importantes de la théorie du potentiel : allure à la frontière des fonctions surharmoniques $\>0$ et problème de Dirichlet. On considère essentiellement un “espace de Green” $\Omega$, pourvu par définition d’une fonction de Green $G$, et dont la réunion avec la frontière de Martin $\Delta$ est l’espace de Martin $\widehat{\Omega }$. Pour tout point $x_0\in \Delta$, on sait que la fonction de Green “normalisée” $\frac{G(x,y)}{G(x,y_0)}(y\in \Omega ,y_0\text{fixé}\in \Omega )$, notée aussi $K(x,y)$, admet pour $x\to x_0$ une...