Étude et extensions du principe de Dirichlet

Marcel Brelot

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Espaces et lignes de Green

Marcel Brelot, Gustave Choquet (1951)

Annales de l'institut Fourier

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Les auteurs reprennent deux notes aux C.R. étudiant (en s’inspirant du cas plan simplement connexe traité par Evans) les lignes de Green (trajectoires orthogonales des lignes ou surfaces $G_{p} (M) = C^{te}$ ) et certaines applications. Mais au lieu de se placer dans l’espace euclidien à $τ \geq 2 \dim$ , ils font la théorie dans des espaces $E$ plus généraux, comprenant les surfaces classiques de Riemann, des variétés analogues non orientables et les espaces localement euclidiens à $τ \dim$ . On examine surtout parmi ces espaces...

Sur les moyennes des fonctions harmoniques et analytiques et la classification des surfaces de Riemann

Michel Parreau (1951)

Annales de l'institut Fourier

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Après avoir étendu aux domaines relativement compacts d’une surface de Riemann la solution du problème de Dirichlet par la méthode de Perron-Brelot, l’article étudie la fonction de Green d’une surface hyperbolique ; le comportement “à l’infini” de cette fonction permet de retrouver pour les potentiels de Green les principaux résultats de la théorie du potentiel newtonien. Le mémoire traite ensuite des moyennes d’une fonction harmonique $u$ sur une surface de Riemann $S$ ; on...

Majorantes surharmoniques minimales d'une fonction continue

Jean-Jacques Moreau (1971)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $Ω$ , ouvert de $R^{n}$ et $f : Ω \to R$ , continue. On dit qu’une majorante surharmonique de $f$ dans $Ω$ est minimale si cette majorante surharmonique est harmonique dans l’ensemble (ouvert) où elle diffère de $f$ . Beaucoup de propriétés de ces fonctions sont semblables à celles des fonctions harmoniques $\geq 0$ (lesquelles correspondent à $f = 0$ ) ; par exemple la famille entière est uniformément équicontinue dans chaque partie compacte de $Ω$ , relativement à la structure uniforme de $\overline{R}$ . On traite le problème de Dirichlet :...

Les espaces du type de Beppo Levi

Jacques Deny, Jacques-Louis Lions (1954)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $Ω$ un ouvert quelconque connexe de $R^{n}$ . Soit $E$ un espace vectoriel de distributions sur $Ω$ , séparé et complet. On désigne par $B L_{m} (E)$ l’espace des distributions sur $Ω$ dont toutes les dérivées d’ordre $m$ sont dans $E$ . Ces espaces sont les espaces du type de Beppo Levi. Si $E = L^{2} (Ω)$ , on écrit $B L = B L (Ω)$ au lieu de $B L_{1} (L^{2} (Ω))$ . La première partie est consacrée aux propriétés générales des espaces $B L_{1} (E)$ ; la seconde associe à toute fonction $F \in B L (Ω)$ une fonction “précisée”, définie partout sauf sur un ensemble de capacité extérieure...

Sur les ensembles d'accumulation relatifs à des transformations plus générales que les transformations quasi-conformes

Makoto Ohtsuka (1954)

Annales de l'institut Fourier

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L’objet de ce travail est l’étude des problèmes relatifs aux ensembles d’accumulation dans le cas où la transformation est assez générale : c’est une transformation continue, plus générale que la transformation quasi-conforme ordinaire, d’un ensemble dénombrable de surfaces de recouvrement d’une surface de Riemann ouverte $ℛ$ dans une autre surface de Riemann ; les frontières des surfaces de Riemann sont définies au sens de Kérékjarto-Stoïlow. L’ensemble d’accumulation intérieur et l’ensemble...

Principe de Harnack à la frontière et théorème de Fatou pour un opérateur elliptique dans un domaine lipschitzien

Alano Ancona (1978)

Annales de l'institut Fourier

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L’article étudie le compactifié de Martin d’un domaine lipschitzien $Ω$ relativement à un opérateur elliptique à coefficients hödériens $L$ ; on étend aux fonctions $L$ -harmoniques et aux fonctions $L$ -harmoniques adjointes sur $Ω$ une estimation de $L$ -Carleson pour le cas $L = Δ$ , puis on établit un “principe de Harnack à la frontière” comparant l’allure à la frontière de fonctions $L$ -harmoniques $\geq 0$ sur $Ω$ . Conséquences : $Q \in \partial Ω$ , et normalisée en $A_{0} \in Ω$ ; un théorème de type Fatou-Doob sur l’existence de limites...